Номер 14.27, страница 126 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 14. Перестановки. Размещения. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 14.27, страница 126.

14.27. Сколько существует пятизначных чисел, в записи которых есть две одинаковые цифры?

Для решения этой задачи удобнее всего использовать метод от противного (также известный как метод дополнения). Условие «есть две одинаковые цифры» означает, что в числе имеется хотя бы одна пара одинаковых цифр. Противоположным (дополнительным) событием будет то, в котором все цифры числа различны.

План решения следующий:

1. Найти общее количество всех пятизначных чисел.
2. Найти количество пятизначных чисел, в которых все цифры различны.
3. Вычесть из общего количества чисел количество чисел с различными цифрами. Полученная разность и будет искомым числом.

Шаг 1: Нахождение общего количества пятизначных чисел
Пятизначные числа — это целые числа в диапазоне от 10 000 до 99 999.
Общее количество таких чисел можно найти как $99999 - 10000 + 1 = 90000$.
Другой способ — комбинаторный. Пятизначное число состоит из пяти цифр.
- На месте первой цифры (разряд десятков тысяч) может быть любая цифра от 1 до 9 (всего 9 вариантов), так как число не может начинаться с 0.
- На каждом из следующих четырех мест может стоять любая цифра от 0 до 9 (по 10 вариантов на каждую позицию).
Перемножив количество вариантов для каждой позиции, получаем общее количество пятизначных чисел $N_{общ}$:
$N_{общ} = 9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 9 \times 10^4 = 90000$.

Шаг 2: Нахождение количества пятизначных чисел, в которых все цифры различны
В таких числах каждая цифра может быть использована не более одного раза.
- Для первой цифры есть 9 вариантов (любая от 1 до 9).
- Для второй цифры также остается 9 вариантов (любая из 10 цифр, кроме той, что уже использована на первой позиции).
- Для третьей цифры остается 8 вариантов (любая из 10, кроме двух уже использованных).
- Для четвертой цифры — 7 вариантов.
- Для пятой цифры — 6 вариантов.
Общее количество пятизначных чисел с различными цифрами $N_{разл}$ составляет:
$N_{разл} = 9 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 27216$.

Шаг 3: Нахождение искомого количества чисел
Количество пятизначных чисел, в записи которых есть хотя бы две одинаковые цифры, равно разности между общим количеством пятизначных чисел и количеством чисел, в которых все цифры различны.
$N = N_{общ} - N_{разл} = 90000 - 27216 = 62784$.

Ответ: 62784.