Номер 14.27, страница 126 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона. Параграф 14. Перестановки. Размещения. Упражнения - номер 14.27, страница 126.

Учебник.

14.27. Сколько существует пятизначных чисел, в записи которых есть две одинаковые цифры?

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи удобнее всего использовать метод от противного (также известный как метод дополнения). Условие «есть две одинаковые цифры» означает, что в числе имеется хотя бы одна пара одинаковых цифр. Противоположным (дополнительным) событием будет то, в котором все цифры числа различны.

План решения следующий:

1. Найти общее количество всех пятизначных чисел.
2. Найти количество пятизначных чисел, в которых все цифры различны.
3. Вычесть из общего количества чисел количество чисел с различными цифрами. Полученная разность и будет искомым числом.

Шаг 1: Нахождение общего количества пятизначных чисел
Пятизначные числа — это целые числа в диапазоне от 10 000 до 99 999.
Общее количество таких чисел можно найти как $99999 - 10000 + 1 = 90000$.
Другой способ — комбинаторный. Пятизначное число состоит из пяти цифр.
- На месте первой цифры (разряд десятков тысяч) может быть любая цифра от 1 до 9 (всего 9 вариантов), так как число не может начинаться с 0.
- На каждом из следующих четырех мест может стоять любая цифра от 0 до 9 (по 10 вариантов на каждую позицию).
Перемножив количество вариантов для каждой позиции, получаем общее количество пятизначных чисел $N_{общ}$:
$N_{общ} = 9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 9 \times 10^4 = 90000$.

Шаг 2: Нахождение количества пятизначных чисел, в которых все цифры различны
В таких числах каждая цифра может быть использована не более одного раза.
- Для первой цифры есть 9 вариантов (любая от 1 до 9).
- Для второй цифры также остается 9 вариантов (любая из 10 цифр, кроме той, что уже использована на первой позиции).
- Для третьей цифры остается 8 вариантов (любая из 10, кроме двух уже использованных).
- Для четвертой цифры — 7 вариантов.
- Для пятой цифры — 6 вариантов.
Общее количество пятизначных чисел с различными цифрами $N_{разл}$ составляет:
$N_{разл} = 9 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 27216$.

Шаг 3: Нахождение искомого количества чисел
Количество пятизначных чисел, в записи которых есть хотя бы две одинаковые цифры, равно разности между общим количеством пятизначных чисел и количеством чисел, в которых все цифры различны.
$N = N_{общ} - N_{разл} = 90000 - 27216 = 62784$.

Ответ: 62784.