Номер 14.21, страница 125 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 14. Перестановки. Размещения. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 14.21, страница 125.

14.21. Пять мальчиков и пять девочек садятся в ряд на десяти стульях. Сколькими способами они могут расположиться так, чтобы мальчики сидели на стульях с чётными номерами, а девочки — на стульях с нечётными номерами?

В задаче требуется найти общее число способов рассадить 5 мальчиков и 5 девочек на 10 стульях при определённых условиях.

Условие задачи заключается в том, что мальчики должны занимать стулья с чётными номерами, а девочки — с нечётными.

Пронумеруем стулья от 1 до 10.

• Стулья с нечётными номерами: 1, 3, 5, 7, 9. Всего 5 стульев.
• Стулья с чётными номерами: 2, 4, 6, 8, 10. Всего 5 стульев.

Таким образом, задача сводится к двум независимым подзадачам:

1. Найти количество способов рассадить 5 девочек на 5 стульев с нечётными номерами.Это является задачей на перестановки. Количество способов рассадить 5 различных девочек на 5 различных местах равно числу перестановок из 5 элементов, которое вычисляется как факториал числа 5:$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ способов.

2. Найти количество способов рассадить 5 мальчиков на 5 стульев с чётными номерами.Аналогично, количество способов рассадить 5 различных мальчиков на 5 различных местах также равно числу перестановок из 5 элементов:$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ способов.

Поскольку рассадка мальчиков и рассадка девочек являются независимыми событиями, общее количество способов расположения находится по правилу произведения в комбинаторике. Для этого нужно перемножить количество способов рассадки девочек на количество способов рассадки мальчиков.

Общее количество способов = (способы для девочек) $\times$ (способы для мальчиков) = $5! \times 5! = 120 \times 120 = 14400$.

Ответ: 14400.