Номер 14.17, страница 125 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 14. Перестановки. Размещения. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 14.17, страница 125.

14.17. В коробке лежат $n$ карточек, на которых записаны числа от 1 до $n$. Из коробки надо последовательно выбрать 5 карточек. Сколькими способами можно сделать такой выбор?

Эта задача по комбинаторике. Нам нужно найти количество способов последовательно выбрать 5 карточек из $n$ имеющихся. Поскольку выбор последовательный, порядок, в котором извлекаются карточки, важен. Например, набор карточек {1, 2, 3, 4, 5}, извлеченный в порядке (1, 2, 3, 4, 5), — это один способ, а извлеченный в порядке (5, 4, 3, 2, 1) — это другой способ. Так как карточки извлекаются из коробки, выборка происходит без возвращения.

Такие упорядоченные выборки без повторений называются размещениями. Число размещений из $n$ элементов по $k$ обозначается $A_n^k$ и находится по формуле: $A_n^k = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае общее число элементов (карточек) $n$, а количество элементов в выборке $k=5$. Можно рассуждать пошагово, применяя правило произведения:

- Для выбора первой карточки есть $n$ возможностей.

- После того как первая карточка выбрана, в коробке осталась $n-1$ карточка. Таким образом, для выбора второй карточки есть $n-1$ возможность.

- Для выбора третьей карточки остается $n-2$ возможности.

- Для выбора четвертой карточки — $n-3$ возможности.

- Для выбора пятой карточки — $n-4$ возможности.

Общее число способов равно произведению числа возможностей на каждом шаге: $n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3) \cdot (n-4)$.

Это число и есть $A_n^5$. Важно отметить, что задача имеет решение только при условии, что $n \ge 5$, так как невозможно выбрать 5 карточек, если их в коробке меньше.

Ответ: $n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)$