Номер 14.16, страница 125 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 14. Перестановки. Размещения. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 14.16, страница 125.

14.16. Руководство фирмы приобрело для своих сотрудников 6 туристических путёвок в разные страны. Сколькими способами эти путёвки можно распределить между 25 сотрудниками, если один сотрудник не может получить более одной путёвки?

14.16.

В данной задаче требуется найти количество способов распределить 6 различных туристических путёвок среди 25 сотрудников. Ключевые условия: путёвки различны (в разные страны), и один сотрудник не может получить более одной путёвки.

Поскольку путёвки различны, важен порядок их распределения. Например, если сотрудник Иванов получит путёвку в Испанию, а Петров — в Италию, это один способ. А если Иванов получит путёвку в Италию, а Петров — в Испанию, это уже другой способ. Это означает, что мы имеем дело с упорядоченной выборкой без повторений.

В комбинаторике такие выборки называются размещениями. Число размещений из $n$ элементов по $k$ (в нашем случае из 25 сотрудников по 6 путёвкам) вычисляется по формуле:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

где $n$ — общее количество элементов, из которых производится выбор (число сотрудников, $n=25$), а $k$ — количество выбираемых элементов (число путёвок, $k=6$).

Подставим наши значения в формулу:

$A_{25}^6 = \frac{25!}{(25-6)!} = \frac{25!}{19!} = 25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21 \times 20$

Рассуждая по шагам, первую путёвку можно вручить любому из 25 сотрудников. После этого для второй путёвки остаётся 24 кандидата. Для третьей — 23, и так далее, до шестой путёвки, для которой останется 20 кандидатов. По правилу умножения общее число способов равно произведению:

$25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21 \times 20 = 127512000$

Ответ: 127 512 000.