Номер 14.12, страница 124 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 14. Перестановки. Размещения. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 14.12, страница 124.

14.12. Решите в натуральных числах уравнение:

1) $A_x^2 = 20$;

2) $A_x^5 = 18 \cdot A_{x-2}^4$;

3) $\frac{A_x^3 + 3A_x^2}{P_{x+1}} = \frac{1}{2}$.

1) $A_x^2 = 20$

По определению числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. В нашем случае $n=x$ и $k=2$.

$A_x^2 = \frac{x!}{(x-2)!} = \frac{x(x-1)(x-2)!}{(x-2)!} = x(x-1)$.

Условие задачи заключается в решении в натуральных числах, а для существования $A_x^2$ необходимо, чтобы $x \ge 2$. Таким образом, мы ищем натуральные решения при $x \ge 2$.

Подставим выражение для $A_x^2$ в уравнение:

$x(x-1) = 20$

Раскроем скобки и получим квадратное уравнение:

$x^2 - x - 20 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а их произведение равно $-20$. Корнями являются числа $5$ и $-4$.

$x_1 = 5$, $x_2 = -4$.

Корень $x_1 = 5$ является натуральным числом и удовлетворяет условию $x \ge 2$.

Корень $x_2 = -4$ не является натуральным числом, следовательно, не является решением задачи.

Ответ: $x=5$.

2) $A_x^5 = 18 \cdot A_{x-2}^4$

Запишем выражения для размещений, используя формулу $A_n^k = n(n-1)...(n-k+1)$:

$A_x^5 = x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$

$A_{x-2}^4 = (x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$

Определим область допустимых значений (ОДЗ) для $x$. Для существования $A_x^5$ необходимо $x \ge 5$. Для $A_{x-2}^4$ необходимо $x-2 \ge 4$, то есть $x \ge 6$. Так как решения должны быть натуральными, ОДЗ: $x \in \mathbb{N}$, $x \ge 6$.

Подставим выражения в уравнение:

$x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 18 \cdot (x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$

Так как $x \ge 6$, то множители $(x-2)$, $(x-3)$ и $(x-4)$ не равны нулю. Мы можем разделить обе части уравнения на произведение $(x-2)(x-3)(x-4)$:

$x(x-1) = 18(x-5)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - x = 18x - 90$

$x^2 - 19x + 90 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $19$, а произведение $90$. Легко подобрать корни: $x_1 = 9$ и $x_2 = 10$.

Оба корня $x=9$ и $x=10$ являются натуральными числами и удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 6$).

Ответ: $x=9, x=10$.

3) $\frac{A_x^3 + 3A_x^2}{P_{x+1}} = \frac{1}{2}$

Используем определения размещений $A_x^k$ и перестановок $P_n$:

$A_x^3 = \frac{x!}{(x-3)!} = x(x-1)(x-2)$

$A_x^2 = \frac{x!}{(x-2)!} = x(x-1)$

$P_{x+1} = (x+1)!$

ОДЗ для $x$: для $A_x^3$ необходимо $x \ge 3$. Для $A_x^2$ необходимо $x \ge 2$. Поскольку ищем натуральные решения, получаем $x \in \mathbb{N}$, $x \ge 3$.

Преобразуем числитель дроби:

$A_x^3 + 3A_x^2 = x(x-1)(x-2) + 3x(x-1)$

Вынесем общий множитель $x(x-1)$ за скобки:

$x(x-1)[(x-2) + 3] = x(x-1)(x+1)$

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$\frac{x(x-1)(x+1)}{(x+1)!} = \frac{1}{2}$

Используем свойство факториала $(x+1)! = (x+1) \cdot x \cdot (x-1) \cdot (x-2)!$ и сократим дробь:

$\frac{x(x-1)(x+1)}{(x+1)x(x-1)(x-2)!} = \frac{1}{2}$

После сокращения получаем:

$\frac{1}{(x-2)!} = \frac{1}{2}$

Отсюда следует, что $(x-2)! = 2$.

Мы знаем, что $2! = 2$. Следовательно:

$x-2 = 2$

$x = 4$

Полученный корень $x=4$ является натуральным числом и удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 3$).

Ответ: $x=4$.