Номер 14.6, страница 124 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона. Параграф 14. Перестановки. Размещения. Упражнения - номер 14.6, страница 124.

Учебник.

14.6. В финальной части чемпионата Европы по футболу участвуют 24 команды. Сколькими способами могут распределиться золотые и серебряные награды?

Решение.

Решение 2.

В данной задаче необходимо определить, сколькими способами могут быть распределены золотая и серебряная медали среди 24 команд.

Поскольку награды (золотая и серебряная) различны, порядок их распределения имеет значение. То есть, ситуация, когда команда А получает золото, а команда Б — серебро, отличается от ситуации, когда команда Б получает золото, а команда А — серебро. Следовательно, мы имеем дело с размещениями.

Для решения задачи можно использовать правило умножения из комбинаторики.
1. Сначала выберем команду, которая получит золотую медаль. Это можно сделать 24 способами, так как любая из 24 команд может стать чемпионом.
2. После того, как обладатель золотой медали определен, остается 23 команды. Любая из этих 23 команд может получить серебряную медаль. Таким образом, есть 23 способа выбрать серебряного призера.

Общее количество способов распределения наград равно произведению числа способов выбора для каждой медали:
$24 \times 23 = 552$

Эта же задача может быть решена с помощью формулы для числа размещений без повторений, так как мы выбираем 2 команды из 24 с учетом порядка. Формула для числа размещений из $n$ элементов по $k$:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае общее число команд $n=24$, а число призовых мест $k=2$.
Подставив значения в формулу, получаем:
$A_{24}^2 = \frac{24!}{(24-2)!} = \frac{24!}{22!} = \frac{24 \times 23 \times 22!}{22!} = 24 \times 23 = 552$

Ответ: 552