Номер 6, страница 124 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы к параграфу. § 14. Перестановки. Размещения. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 6, страница 124.

6. По какой формуле можно вычислить количество размещений из $n$-элементного множества по $k$ элементов?

Количество размещений из $n$-элементного множества по $k$ элементов, обозначаемое как $A_n^k$, — это количество способов выбрать $k$ элементов из $n$ имеющихся с учётом порядка их расположения. Иными словами, размещения — это упорядоченные наборы, в которых важен не только состав выбранных элементов, но и их последовательность.

Чтобы вывести формулу, давайте рассуждать логически. Представим, что нам нужно составить упорядоченную последовательность из $k$ элементов, выбирая их из множества, содержащего $n$ различных элементов.

• На первую позицию в последовательности мы можем поставить любой из $n$ элементов.
• После того как мы выбрали первый элемент, для второй позиции у нас остаётся $n-1$ возможный вариант (поскольку повторное использование элементов не допускается).
• Для третьей позиции остаётся $n-2$ варианта.
• Этот процесс продолжается до $k$-й позиции. Для выбора элемента на $k$-ю позицию у нас останется $n-(k-1)$ или $n-k+1$ вариантов.

Согласно основному правилу комбинаторики (правилу произведения), общее количество способов составить такую упорядоченную последовательность (размещение) равно произведению числа вариантов на каждом шаге:

$A_n^k = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot (n-k+1)$

Эту формулу можно записать в более компактном виде, используя факториалы. Напомним, что факториал числа $n$ (обозначается $n!$) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно ($n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$).

Чтобы выразить $A_n^k$ через факториалы, мы можем умножить и разделить полученное произведение на $(n-k)!$:

$A_n^k = \frac{n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot (n-k+1) \cdot (n-k)!}{(n-k)!}$

В числителе теперь находится произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$, что по определению равно $n!$. В знаменателе остаётся $(n-k)!$.

Таким образом, окончательная и наиболее известная формула для вычисления количества размещений из $n$ по $k$ имеет вид:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Эта формула верна при условии, что $n$ и $k$ — целые неотрицательные числа и $k \le n$.

Ответ: Количество размещений из $n$-элементного множества по $k$ элементов можно вычислить по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.