Номер 14.4, страница 124 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона. Параграф 14. Перестановки. Размещения. Упражнения - номер 14.4, страница 124.

Учебник.

14.4. Комиссия, состоящая из 15 человек, должна выбрать председателя, его заместителя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи необходимо использовать методы комбинаторики. Нам нужно выбрать 3 человека из 15 на 3 различные должности. Поскольку должности (председатель, заместитель, секретарь) не являются равнозначными, порядок выбора имеет значение. Это означает, что мы имеем дело с размещениями без повторений, так как один и тот же человек не может занимать несколько постов одновременно.

Решение можно найти, последовательно применяя правило произведения:

1. На должность председателя можно выбрать любого из 15 членов комиссии. Следовательно, существует 15 способов выбора председателя.

2. После того как председатель выбран, на должность его заместителя остается претендовать $15 - 1 = 14$ человек. Значит, есть 14 способов выбрать заместителя.

3. После выбора председателя и заместителя, на должность секретаря могут претендовать оставшиеся $15 - 2 = 13$ человек. То есть, существует 13 способов выбрать секретаря.

Общее число способов выбрать троих человек на эти три должности равно произведению числа способов на каждом этапе:

$N = 15 \times 14 \times 13 = 2730$

Этот же результат можно получить, используя формулу для нахождения числа размещений без повторений из $n$ элементов по $k$:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае общее число членов комиссии $n = 15$, а число вакантных должностей $k = 3$.

$A_{15}^3 = \frac{15!}{(15-3)!} = \frac{15!}{12!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12!}{12!} = 15 \times 14 \times 13 = 2730$

Следовательно, существует 2730 способов выбрать председателя, его заместителя и секретаря.

Ответ: 2730.