Страница 124 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Опишите, какое множество называют упорядоченным.

1. Упорядоченным (или, более строго, частично упорядоченным) множеством называется множество $M$, на котором задано бинарное отношение порядка (обычно обозначаемое символом $≤$), удовлетворяющее для любых элементов $a, b, c \in M$ трем аксиомам:

1. Рефлексивность: $a ≤ a$.
Каждый элемент находится в отношении сам с собой.

2. Антисимметричность: если $a ≤ b$ и $b ≤ a$, то $a = b$.
Если два элемента взаимно сравнимы в обе стороны, то они равны.

3. Транзитивность: если $a ≤ b$ и $b ≤ c$, то $a ≤ c$.
Отношение порядка переносится по цепочке.

Пара $(M, ≤)$ называется частично упорядоченным множеством (ЧУМ). В таком множестве не все элементы обязаны быть сравнимы между собой. Например, множество всех подмножеств множества $\{1, 2\}$, то есть $\{∅, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}$, упорядоченное по отношению включения $⊆$, является частично упорядоченным. Здесь $\{1\} ⊆ \{1, 2\}$ и $\{2\} ⊆ \{1, 2\}$, но элементы $\{1\}$ и $\{2\}$ несравнимы.

Если же к трем перечисленным аксиомам добавляется четвертая, то множество называют линейно упорядоченным (или просто упорядоченным в более узком смысле).

4. Свойство линейности (или полноты): для любых двух элементов $a, b \in M$ выполняется либо $a ≤ b$, либо $b ≤ a$.
Любые два элемента множества сравнимы между собой.

Классическим примером линейно упорядоченного множества является множество натуральных чисел $ℕ = \{1, 2, 3, ...\}$ со стандартным отношением "меньше или равно" ($≤$). Любые два натуральных числа можно сравнить между собой.

Ответ: Упорядоченное множество — это множество, для элементов которого введено отношение порядка (например, «меньше или равно»), обладающее свойствами рефлексивности ($a ≤ a$), антисимметричности (если $a ≤ b$ и $b ≤ a$, то $a=b$) и транзитивности (если $a ≤ b$ и $b ≤ c$, то $a ≤ c$). Если дополнительно любые два элемента множества сравнимы между собой, то множество называется линейно упорядоченным.

2. Что называют перестановкой конечного множества?

Перестановкой конечного множества называют любой упорядоченный набор, который состоит из всех элементов этого множества, причем каждый элемент используется ровно один раз. Основное свойство перестановки заключается в том, что порядок следования элементов в наборе имеет значение.

Рассмотрим в качестве примера конечное множество $A = \{a, b, c\}$, состоящее из трёх элементов. Возможные перестановки этого множества представляют собой все способы расставить эти элементы по порядку. Такими упорядоченными наборами (кортежами) будут:
(a, b, c)
(a, c, b)
(b, a, c)
(b, c, a)
(c, a, b)
(c, b, a)
Каждый из этих шести наборов является отдельной перестановкой множества $A$. Хотя все они содержат одни и те же элементы, они считаются различными, так как порядок элементов в них не совпадает.

Число всех возможных перестановок для множества, состоящего из $n$ различных элементов, обозначается как $P_n$ и вычисляется по формуле n-факториал. Факториал числа $n$ — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно. $$P_n = n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n$$ Для нашего примера с множеством $A = \{a, b, c\}$, где число элементов $n=3$, количество перестановок составляет: $$P_3 = 3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$$ Это число в точности равно количеству перестановок, которые мы перечислили выше.

В более строгой математической терминологии, перестановка конечного множества $S$ определяется как биективное отображение (или взаимно-однозначное соответствие) множества $S$ на само себя.

Ответ: Перестановкой конечного множества называют любой упорядоченный набор, который можно составить из всех элементов этого множества. В отличие от самого множества, для перестановки важен порядок расположения элементов. Число всех возможных перестановок для множества из $n$ элементов равно $n!$ (n-факториал).

3. Как называют и обозначают произведение первых $n$ натуральных чисел?

Произведение первых $n$ натуральных чисел называют факториалом числа $n$. Термин «факториал» происходит от английского слова factorial (состоящий из множителей).

Обозначается факториал с помощью восклицательного знака после числа: $n!$ (читается как «эн факториал»).

Таким образом, формула для вычисления факториала натурального числа $n$ выглядит следующим образом:
$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n$

Примеры вычисления факториала:
$1! = 1$
$2! = 1 \cdot 2 = 2$
$3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$
$4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$
$5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$

Также существует рекуррентная формула для вычисления факториала: $n! = n \cdot (n-1)!$.

Важно отметить, что по особому соглашению факториал нуля равен единице: $0! = 1$. Это определение необходимо для того, чтобы многие формулы в комбинаторике и других разделах математики оставались верными для крайних случаев.

Ответ: Произведение первых $n$ натуральных чисел называют факториалом и обозначают $n!$.

4. По какой формуле можно вычислить количество перестановок n-элементного множества?

4. Количество перестановок $n$-элементного множества вычисляется по формуле для числа перестановок без повторений, которая обозначается как $P_n$.

Перестановка — это упорядоченный набор всех элементов множества. Чтобы вывести формулу, давайте рассуждать логически. Представим, что у нас есть $n$ различных элементов и $n$ позиций, на которые их нужно расставить.

• На первую позицию мы можем поставить любой из $n$ элементов. У нас есть $n$ вариантов.
• После того как мы выбрали элемент для первой позиции, у нас остается $n-1$ элементов. Значит, на вторую позицию мы можем поставить любой из оставшихся $n-1$ элементов.
• На третью позицию мы можем выбрать любой из $n-2$ оставшихся элементов.
• Этот процесс продолжается до тех пор, пока мы не дойдем до последней, $n$-ой позиции. К этому моменту у нас останется только 1 элемент, поэтому для последней позиции есть только 1 вариант.

Согласно комбинаторному правилу умножения, общее число способов расставить все элементы равно произведению числа вариантов для каждой позиции:

$P_n = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 2 \times 1$

Это произведение называется факториалом числа $n$ и обозначается как $n!$.

Таким образом, формула для вычисления количества перестановок $n$-элементного множества выглядит так:

$P_n = n!$

Например, для множества из 3 элементов {А, Б, В} количество перестановок будет:

$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

Это соответствует всем возможным комбинациям: (А, Б, В), (А, В, Б), (Б, А, В), (Б, В, А), (В, А, Б), (В, Б, А).

Ответ: Количество перестановок $n$-элементного множества вычисляется по формуле $P_n = n!$, где $n!$ — это факториал числа $n$.

5. Что называют размещением из $n$ элементов по $k$ элементов?

Размещением из $n$ элементов по $k$ элементов в комбинаторике называют любой упорядоченный набор (или кортеж) длины $k$, составленный из элементов данного $n$-элементного множества, причём все элементы в наборе должны быть различны.

Другими словами, мы выбираем $k$ элементов из $n$ и располагаем их в определённом порядке. Два размещения считаются разными, если они либо отличаются составом элементов, либо состоят из одних и тех же элементов, но расположенных в разном порядке. Это ключевое отличие размещений от сочетаний, где порядок элементов не важен.

Число всех возможных размещений из $n$ по $k$ обозначается символом $A_n^k$ (от французского arrangement — размещение, приведение в порядок) и вычисляется по следующей формуле:
$A_n^k = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot (n-k+1)$
Эта формула получается из правила произведения: для выбора первого элемента у нас есть $n$ вариантов, для второго — $(n-1)$ вариант (так как один элемент уже выбран), для третьего — $(n-2)$ и так далее, до $k$-го элемента, для которого остаётся $(n-k+1)$ вариант.

Используя факториалы, эту формулу можно записать в более компактном виде:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
где $n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$ (факториал числа $n$), и по определению $0! = 1$. Формула имеет смысл при $n \ge k \ge 0$.

Пример.
Рассмотрим множество из 4-х букв: {A, B, C, D}. Найдём число размещений из 4 элементов по 2.
Здесь $n=4$, $k=2$.
Нам нужно составить все упорядоченные пары из этих букв. Перечислим их:
(A, B), (B, A), (A, C), (C, A), (A, D), (D, A),
(B, C), (C, B), (B, D), (D, B), (C, D), (D, C).
Всего получилось 12 различных размещений.
Проверим по формуле: $A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$.

Ответ: Размещением из $n$ элементов по $k$ называется любой упорядоченный набор из $k$ различных элементов, выбранных из исходного множества, содержащего $n$ элементов. Число таких размещений обозначается $A_n^k$ и вычисляется по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

6. По какой формуле можно вычислить количество размещений из $n$-элементного множества по $k$ элементов?

Количество размещений из $n$-элементного множества по $k$ элементов, обозначаемое как $A_n^k$, — это количество способов выбрать $k$ элементов из $n$ имеющихся с учётом порядка их расположения. Иными словами, размещения — это упорядоченные наборы, в которых важен не только состав выбранных элементов, но и их последовательность.

Чтобы вывести формулу, давайте рассуждать логически. Представим, что нам нужно составить упорядоченную последовательность из $k$ элементов, выбирая их из множества, содержащего $n$ различных элементов.

• На первую позицию в последовательности мы можем поставить любой из $n$ элементов.
• После того как мы выбрали первый элемент, для второй позиции у нас остаётся $n-1$ возможный вариант (поскольку повторное использование элементов не допускается).
• Для третьей позиции остаётся $n-2$ варианта.
• Этот процесс продолжается до $k$-й позиции. Для выбора элемента на $k$-ю позицию у нас останется $n-(k-1)$ или $n-k+1$ вариантов.

Согласно основному правилу комбинаторики (правилу произведения), общее количество способов составить такую упорядоченную последовательность (размещение) равно произведению числа вариантов на каждом шаге:

$A_n^k = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot (n-k+1)$

Эту формулу можно записать в более компактном виде, используя факториалы. Напомним, что факториал числа $n$ (обозначается $n!$) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно ($n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$).

Чтобы выразить $A_n^k$ через факториалы, мы можем умножить и разделить полученное произведение на $(n-k)!$:

$A_n^k = \frac{n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot (n-k+1) \cdot (n-k)!}{(n-k)!}$

В числителе теперь находится произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$, что по определению равно $n!$. В знаменателе остаётся $(n-k)!$.

Таким образом, окончательная и наиболее известная формула для вычисления количества размещений из $n$ по $k$ имеет вид:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Эта формула верна при условии, что $n$ и $k$ — целые неотрицательные числа и $k \le n$.

Ответ: Количество размещений из $n$-элементного множества по $k$ элементов можно вычислить по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

14.1. Сколькими способами можно расставить на полке 7 различных книг?

14.1. Данная задача заключается в нахождении количества перестановок из 7 различных элементов. Перестановка — это комбинация, в которой важен порядок расположения элементов. В нашем случае элементами являются книги, и их порядок на полке имеет значение.

Число всех возможных перестановок из $n$ различных элементов обозначается $P_n$ и вычисляется по формуле факториала:
$P_n = n!$
где $n!$ (читается как "эн факториал") — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно.

По условию задачи у нас есть 7 различных книг, то есть $n = 7$. Найдем количество способов их расстановки, вычислив $7!$:
$P_7 = 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

Проведем вычисления по шагам:
$1 \times 2 = 2$
$2 \times 3 = 6$
$6 \times 4 = 24$
$24 \times 5 = 120$
$120 \times 6 = 720$
$720 \times 7 = 5040$

Следовательно, существует 5040 способов расставить 7 различных книг на полке.

Ответ: 5040

14.2. Сколькими способами могут сесть в автомобиль марки «Калина» 5 человек, если каждый из них может быть водителем?

В данной задаче нам нужно определить количество способов, которыми 5 человек могут занять 5 мест в автомобиле. Так как каждый из них может быть водителем, это означает, что любой из 5 человек может занять любое из 5 мест. Эта задача сводится к нахождению числа перестановок из 5 элементов.

Давайте рассуждать последовательно, заполняя места в автомобиле:

1. На место водителя может сесть любой из 5 человек, следовательно, у нас есть 5 вариантов выбора.

2. После того, как водитель выбран, остаются 4 человека. На первое пассажирское место может сесть любой из оставшихся 4 человек, то есть 4 варианта.

3. На второе пассажирское место могут претендовать оставшиеся 3 человека, что дает 3 варианта.

4. На третье пассажирское место остаются 2 человека, то есть 2 варианта.

5. Последнее, пятое место займет единственный оставшийся человек, что дает 1 вариант.

Чтобы найти общее количество способов, нужно перемножить количество вариантов для каждого места. Это число перестановок из 5 элементов, которое вычисляется как факториал числа 5:

$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

Следовательно, существует 120 способов рассадить 5 человек в автомобиле.

Ответ: 120.

14.3. В футбольной команде (11 человек) надо выбрать капитана и вице-капитана. Сколькими способами это можно сделать?

14.3.

Эта задача относится к области комбинаторики. Нам нужно выбрать двух человек из одиннадцати на две различные должности: капитана и вице-капитана. Поскольку должности различны, порядок выбора имеет значение. Например, пара "Иванов — капитан, Петров — вице-капитан" отличается от пары "Петров — капитан, Иванов — вице-капитан". Следовательно, мы имеем дело с размещениями.

Рассмотрим решение задачи двумя способами.

Способ 1: Использование правила умножения

Выбор можно разбить на два последовательных шага:

1. Выбор капитана. На должность капитана может быть выбран любой из 11 игроков. Таким образом, у нас есть 11 вариантов.

2. Выбор вице-капитана. После того как капитан выбран, он не может занять вторую должность. Остается 10 игроков, из которых нужно выбрать вице-капитана. Следовательно, для выбора вице-капитана есть 10 вариантов.

Чтобы найти общее число способов, нужно перемножить число вариантов на каждом шаге:

Общее количество способов = $11 \times 10 = 110$.

Способ 2: Использование формулы размещений

Число размещений из $n$ элементов по $k$ (где порядок важен) вычисляется по формуле:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае общее число игроков $n = 11$, а количество должностей, на которые мы выбираем игроков, $k = 2$.

Подставим значения в формулу:

$A_{11}^2 = \frac{11!}{(11-2)!} = \frac{11!}{9!} = \frac{11 \times 10 \times 9!}{9!}$

Сократив $9!$ в числителе и знаменателе, получим:

$A_{11}^2 = 11 \times 10 = 110$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 110.

14.4. Комиссия, состоящая из 15 человек, должна выбрать председателя, его заместителя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?

Для решения этой задачи необходимо использовать методы комбинаторики. Нам нужно выбрать 3 человека из 15 на 3 различные должности. Поскольку должности (председатель, заместитель, секретарь) не являются равнозначными, порядок выбора имеет значение. Это означает, что мы имеем дело с размещениями без повторений, так как один и тот же человек не может занимать несколько постов одновременно.

Решение можно найти, последовательно применяя правило произведения:

1. На должность председателя можно выбрать любого из 15 членов комиссии. Следовательно, существует 15 способов выбора председателя.

2. После того как председатель выбран, на должность его заместителя остается претендовать $15 - 1 = 14$ человек. Значит, есть 14 способов выбрать заместителя.

3. После выбора председателя и заместителя, на должность секретаря могут претендовать оставшиеся $15 - 2 = 13$ человек. То есть, существует 13 способов выбрать секретаря.

Общее число способов выбрать троих человек на эти три должности равно произведению числа способов на каждом этапе:

$N = 15 \times 14 \times 13 = 2730$

Этот же результат можно получить, используя формулу для нахождения числа размещений без повторений из $n$ элементов по $k$:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае общее число членов комиссии $n = 15$, а число вакантных должностей $k = 3$.

$A_{15}^3 = \frac{15!}{(15-3)!} = \frac{15!}{12!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12!}{12!} = 15 \times 14 \times 13 = 2730$

Следовательно, существует 2730 способов выбрать председателя, его заместителя и секретаря.

Ответ: 2730.

14.5. В 10 классе изучают 16 предметов. Расписание содержит 6 уроков в один учебный день. Сколькими способами можно составить расписание уроков на один учебный день так, чтобы все 6 уроков были разными?

14.5. Задача состоит в том, чтобы найти количество способов составить расписание на один учебный день из 6 уроков, при условии, что все уроки должны быть разными, а выбираются они из 16 доступных предметов.

Поскольку порядок уроков в расписании важен (например, если первым уроком стоит математика, а вторым — физика, это не то же самое, что наоборот), данная задача решается с помощью формулы для нахождения числа размещений без повторений.

Рассуждать можно последовательно, определяя количество вариантов для каждого урока в расписании:

• Для первого урока можно выбрать любой из 16 предметов.
• Так как все уроки должны быть разными, для второго урока остается $16 - 1 = 15$ предметов.
• Для третьего урока остается $15 - 1 = 14$ предметов.
• Для четвертого урока — 13 предметов.
• Для пятого урока — 12 предметов.
• Для шестого урока — 11 предметов.

Согласно основному правилу комбинаторики (правилу умножения), общее число способов составить такое расписание равно произведению числа вариантов для каждого урока:

$N = 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11$

Этот же результат можно получить, используя формулу для числа размещений из $n$ элементов по $k$:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае общее число предметов $n = 16$, а количество уроков в расписании $k = 6$.

$A_{16}^6 = \frac{16!}{(16-6)!} = \frac{16!}{10!} = 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11$

Теперь вычислим значение этого выражения:

$16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 = 5\,765\,760$

Следовательно, существует 5 765 760 способов составить расписание уроков на один день.

Ответ: $5765760$.

14.6. В финальной части чемпионата Европы по футболу участвуют 24 команды. Сколькими способами могут распределиться золотые и серебряные награды?

В данной задаче необходимо определить, сколькими способами могут быть распределены золотая и серебряная медали среди 24 команд.

Поскольку награды (золотая и серебряная) различны, порядок их распределения имеет значение. То есть, ситуация, когда команда А получает золото, а команда Б — серебро, отличается от ситуации, когда команда Б получает золото, а команда А — серебро. Следовательно, мы имеем дело с размещениями.

Для решения задачи можно использовать правило умножения из комбинаторики.
1. Сначала выберем команду, которая получит золотую медаль. Это можно сделать 24 способами, так как любая из 24 команд может стать чемпионом.
2. После того, как обладатель золотой медали определен, остается 23 команды. Любая из этих 23 команд может получить серебряную медаль. Таким образом, есть 23 способа выбрать серебряного призера.

Общее количество способов распределения наград равно произведению числа способов выбора для каждой медали:
$24 \times 23 = 552$

Эта же задача может быть решена с помощью формулы для числа размещений без повторений, так как мы выбираем 2 команды из 24 с учетом порядка. Формула для числа размещений из $n$ элементов по $k$:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае общее число команд $n=24$, а число призовых мест $k=2$.
Подставив значения в формулу, получаем:
$A_{24}^2 = \frac{24!}{(24-2)!} = \frac{24!}{22!} = \frac{24 \times 23 \times 22!}{22!} = 24 \times 23 = 552$

Ответ: 552

14.7. Научная группа, состоящая из 9 человек, должна делегировать на конференцию трёх представителей: одного в Великобританию, второго во Францию, третьего в Германию. Сколькими способами можно это сделать?

В этой задаче требуется выбрать 3 человека из научной группы, состоящей из 9 человек, и направить каждого в определенную страну. Поскольку направления (Великобритания, Франция, Германия) различны, то важен не только состав тройки делегатов, но и то, кто именно в какую страну поедет. Это означает, что порядок выбора имеет значение. Задачи такого типа решаются с помощью формулы для размещений.

Решение можно найти, используя правило умножения:

1. Для поездки в Великобританию можно выбрать любого из 9 человек. Таким образом, есть 9 способов.

2. После того как один человек выбран, остается 8 человек. Следовательно, для поездки во Францию представителя можно выбрать 8 способами.

3. Для поездки в Германию остается 7 человек, значит, есть 7 способов выбрать третьего представителя.

Общее число способов равно произведению числа способов на каждом шаге:$9 \times 8 \times 7 = 504$

Также можно применить формулу для вычисления числа размещений из $n$ элементов по $k$:$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В данном случае $n=9$ (общее количество человек в группе), а $k=3$ (количество делегатов).

Подставляем значения в формулу:$A_9^3 = \frac{9!}{(9-3)!} = \frac{9!}{6!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6!}{6!} = 9 \times 8 \times 7 = 504$

Ответ: 504.

14.8. Через железнодорожную станцию должны одновременно пройти 3 поезда. Сколькими способами диспетчер может организовать прохождение составов, если в его распоряжении 5 свободных путей?

В данной задаче требуется найти количество способов, которыми диспетчер может направить 3 поезда на 5 свободных путей. Поскольку все поезда различны и все пути тоже различны, а каждый поезд должен занять свой отдельный путь, мы имеем дело с задачей на нахождение числа размещений без повторений. Порядок важен, так как комбинация "Поезд 1 на Пути А, Поезд 2 на Пути Б" отличается от комбинации "Поезд 1 на Пути Б, Поезд 2 на Пути А".

Рассмотрим задачу пошагово:
• Для первого поезда диспетчер может выбрать любой из 5 свободных путей.
• После того, как один путь занят, для второго поезда остается $5 - 1 = 4$ свободных пути.
• Аналогично, для третьего поезда остается $5 - 2 = 3$ свободных пути.

Согласно комбинаторному правилу умножения, общее количество способов равно произведению числа вариантов для каждого поезда:
$N = 5 \times 4 \times 3 = 60$.

Этот же результат можно получить с помощью формулы для числа размещений из $n$ элементов по $k$:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
В нашем случае, общее число доступных элементов (путей) $n = 5$, а число выбираемых элементов (поездов) $k = 3$.
Подставим эти значения в формулу:
$A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 5 \times 4 \times 3 = 60$.

Таким образом, существует 60 способов организовать прохождение составов.

Ответ: 60.

14.9. Найдите значение выражения:

1) $\frac{A_{10}^6 - A_{10}^5}{A_9^5 - A_9^4}$;

2) $\frac{A_{12}^4 \cdot P_7}{A_{11}^9}$;

3) $\frac{A_{m-1}^{n-1} \cdot P_{m-n}}{P_{m-1}}$, где $m \in \mathbf{N}, n \in \mathbf{N}, n \le m$.

1) Для решения данной задачи воспользуемся формулой для числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$, а также свойством $A_n^k = (n-k+1)A_n^{k-1}$.
Рассмотрим числитель дроби: $A_{10}^6 - A_{10}^5$.
Используя свойство $A_n^k = (n-k+1)A_n^{k-1}$, мы можем выразить $A_{10}^6$ через $A_{10}^5$:
$A_{10}^6 = (10-6+1)A_{10}^{6-1} = 5 \cdot A_{10}^5$.
Тогда числитель можно упростить:
$A_{10}^6 - A_{10}^5 = 5 \cdot A_{10}^5 - A_{10}^5 = (5-1)A_{10}^5 = 4A_{10}^5$.
Теперь рассмотрим знаменатель: $A_9^5 - A_9^4$.
Аналогично выразим $A_9^5$ через $A_9^4$:
$A_9^5 = (9-5+1)A_9^{5-1} = 5 \cdot A_9^4$.
Тогда знаменатель можно упростить:
$A_9^5 - A_9^4 = 5 \cdot A_9^4 - A_9^4 = (5-1)A_9^4 = 4A_9^4$.
Подставим упрощенные выражения обратно в дробь:
$\frac{A_{10}^6 - A_{10}^5}{A_9^5 - A_9^4} = \frac{4A_{10}^5}{4A_9^4} = \frac{A_{10}^5}{A_9^4}$.
Теперь вычислим значение полученного выражения, используя основную формулу:
$\frac{A_{10}^5}{A_9^4} = \frac{\frac{10!}{(10-5)!}}{\frac{9!}{(9-4)!}} = \frac{\frac{10!}{5!}}{\frac{9!}{5!}} = \frac{10!}{5!} \cdot \frac{5!}{9!} = \frac{10!}{9!} = \frac{10 \cdot 9!}{9!} = 10$.
Ответ: 10

2) Для решения используем формулы для числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ и числа перестановок $P_n = n!$.
Запишем каждый множитель в выражении через факториалы:
$A_{12}^4 = \frac{12!}{(12-4)!} = \frac{12!}{8!}$
$P_7 = 7!$
$A_{11}^9 = \frac{11!}{(11-9)!} = \frac{11!}{2!}$
Подставим эти выражения в исходную дробь:
$\frac{A_{12}^4 \cdot P_7}{A_{11}^9} = \frac{\frac{12!}{8!} \cdot 7!}{\frac{11!}{2!}} = \frac{12! \cdot 7! \cdot 2!}{8! \cdot 11!}$.
Теперь упростим полученное выражение, используя свойство факториала $n! = n \cdot (n-1)!$:
$\frac{12! \cdot 7! \cdot 2!}{8! \cdot 11!} = \frac{(12 \cdot 11!) \cdot 7! \cdot 2!}{(8 \cdot 7!) \cdot 11!}$.
Сокращаем одинаковые множители ($11!$ и $7!$) в числителе и знаменателе:
$\frac{12 \cdot 2!}{8} = \frac{12 \cdot 2}{8} = \frac{24}{8} = 3$.
Ответ: 3

3) Для упрощения этого выражения также воспользуемся формулами для размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ и перестановок $P_n = n!$.
Условия $m \in \mathbb{N}, n \in \mathbb{N}, n \le m$ гарантируют, что все выражения определены и аргументы факториалов являются неотрицательными целыми числами.
Запишем каждый член выражения через факториалы:
$A_{m-1}^{n-1} = \frac{(m-1)!}{((m-1)-(n-1))!} = \frac{(m-1)!}{(m-1-n+1)!} = \frac{(m-1)!}{(m-n)!}$.
$P_{m-n} = (m-n)!$.
$P_{m-1} = (m-1)!$.
Подставим полученные выражения в исходную дробь:
$\frac{A_{m-1}^{n-1} \cdot P_{m-n}}{P_{m-1}} = \frac{\frac{(m-1)!}{(m-n)!} \cdot (m-n)!}{(m-1)!}$.
В числителе множитель $(m-n)!$ сокращается:
$\frac{(m-1)!}{(m-1)!} = 1$.
Ответ: 1

14.10. Докажите, что $A_n^{n-1} = P_n$, где $n \in N, n > 1$.

Для доказательства равенства $A_{n}^{n-1} = P_n$ воспользуемся определениями и формулами для числа размещений и числа перестановок.

1. Алгебраическое доказательство (с использованием формул)

Число размещений из $n$ элементов по $k$, обозначаемое $A_n^k$, вычисляется по формуле:$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В левой части доказываемого равенства стоит $A_{n}^{n-1}$. В данном случае $k = n-1$. Подставим это значение в формулу для числа размещений:

$A_{n}^{n-1} = \frac{n!}{(n-(n-1))!}$

Упростим выражение в знаменателе:

$(n-(n-1))! = (n-n+1)! = 1!$

Так как $1! = 1$, получаем:

$A_{n}^{n-1} = \frac{n!}{1!} = \frac{n!}{1} = n!$

Теперь рассмотрим правую часть равенства, $P_n$.Число перестановок $n$ элементов, обозначаемое $P_n$, по определению равно $n!$:

$P_n = n!$

Сравнивая левую и правую части, мы видим, что обе они равны $n!$:

$A_{n}^{n-1} = n!$

$P_n = n!$

Следовательно, $A_{n}^{n-1} = P_n$, что и требовалось доказать.

2. Комбинаторное доказательство (с использованием логических рассуждений)

Рассмотрим комбинаторный смысл обеих частей равенства.

$P_n$ — это число перестановок $n$ различных элементов. Иными словами, это количество способов, которыми можно упорядочить (расставить в ряд) все $n$ элементов. По определению, это число равно $n!$.

$A_{n}^{n-1}$ — это число размещений из $n$ элементов по $n-1$. По определению, это количество способов, которыми можно выбрать $n-1$ элемент из $n$ имеющихся и упорядочить их.

Давайте посчитаем это количество другим способом. Процесс создания упорядоченной последовательности из $n-1$ элемента можно разбить на два последовательных шага:

Шаг 1: Выбрать один элемент из $n$, который *не* будет включен в последовательность. Существует $n$ способов сделать такой выбор.

Шаг 2: Оставшиеся $n-1$ элементов нужно расположить в определенном порядке. Число способов упорядочить $n-1$ элемент — это число перестановок из $n-1$ элемента, то есть $P_{n-1} = (n-1)!$.

По правилу произведения в комбинаторике, общее число способов выполнить оба шага равно произведению числа способов на каждом шаге:

$A_{n}^{n-1} = n \times (n-1)!$

По определению факториала, $n \times (n-1)! = n!$.

Таким образом, мы снова получили, что $A_{n}^{n-1} = n!$.

Так как $P_n = n!$ и $A_{n}^{n-1} = n!$, равенство $A_{n}^{n-1} = P_n$ является верным.

Ответ: Равенство $A_{n}^{n-1} = P_n$ доказано двумя способами: алгебраическим, путем подстановки в формулы, и комбинаторным, через подсчет количества способов. Оба способа приводят к результату, что левая и правая части равенства равны $n!$.

14.11. Решите в натуральных числах уравнение:

1) $A_{x+1}^2 = 156;$

2) $A_x^{x-3} = xP_{x-2};$

3) $\frac{P_{x+3}}{A_x^5 \cdot P_{x-5}} = 720;$

4) $\frac{P_{x+1}}{A_{x-1}^{x-4} \cdot P_3} = 210.$

1) Исходное уравнение: $A_{x+1}^2 = 156$.
Формула для числа размещений из $n$ по $k$ есть $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
Для того чтобы выражение $A_{x+1}^2$ было определено в натуральных числах, должны выполняться условия: $x \in \mathbb{N}$ и $x+1 \ge 2$, что эквивалентно $x \ge 1$.
Применим формулу к левой части уравнения:
$A_{x+1}^2 = \frac{(x+1)!}{((x+1)-2)!} = \frac{(x+1)!}{(x-1)!}$.
Упростим полученное выражение:
$\frac{(x+1)!}{(x-1)!} = \frac{(x-1)! \cdot x \cdot (x+1)}{(x-1)!} = x(x+1)$.
Таким образом, уравнение принимает вид:
$x(x+1) = 156$
$x^2 + x - 156 = 0$.
Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-156) = 1 + 624 = 625 = 25^2$.
$x_1 = \frac{-1 - 25}{2} = \frac{-26}{2} = -13$.
$x_2 = \frac{-1 + 25}{2} = \frac{24}{2} = 12$.
Согласно условию, $x$ должен быть натуральным числом. Корень $x_1 = -13$ не является натуральным. Корень $x_2 = 12$ является натуральным числом и удовлетворяет условию $x \ge 1$.
Ответ: $x=12$.

2) Исходное уравнение: $A_x^{x-3} = xP_{x-2}$.
Определим область допустимых значений (ОДЗ) для $x$. Для выражения $A_x^{x-3}$ необходимо, чтобы $x \ge x-3$ (что верно всегда) и $x-3 \ge 0$, откуда $x \ge 3$. Для выражения $P_{x-2}$ (число перестановок) необходимо, чтобы $x-2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$. Учитывая, что $x$ - натуральное число, общая ОДЗ: $x \in \mathbb{N}, x \ge 3$.
Используем формулы для размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ и перестановок $P_n = n!$:
$A_x^{x-3} = \frac{x!}{(x-(x-3))!} = \frac{x!}{3!}$.
$P_{x-2} = (x-2)!$.
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$\frac{x!}{3!} = x \cdot (x-2)!$.
Распишем $x!$ как $x \cdot (x-1) \cdot (x-2)!$ и учтем, что $3! = 6$:
$\frac{x(x-1)(x-2)!}{6} = x(x-2)!$.
Поскольку в ОДЗ $x \ge 3$, то $x \neq 0$ и $(x-2)! \neq 0$, поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $x(x-2)!$:
$\frac{x-1}{6} = 1$
$x-1 = 6$
$x = 7$.
Полученное значение $x=7$ удовлетворяет ОДЗ ($7 \ge 3$).
Ответ: $x=7$.

3) Исходное уравнение: $\frac{P_{x+3}}{A_x^5 \cdot P_{x-5}} = 720$.
Определим ОДЗ для $x$. Для $P_{x+3}$ нужно $x+3 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3$. Для $A_x^5$ нужно $x \ge 5$. Для $P_{x-5}$ нужно $x-5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5$. Общая ОДЗ для натуральных $x$: $x \in \mathbb{N}, x \ge 5$.
Подставим определения $P_n=n!$ и $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ в уравнение:
$P_{x+3} = (x+3)!$
$A_x^5 = \frac{x!}{(x-5)!}$
$P_{x-5} = (x-5)!$
$\frac{(x+3)!}{\frac{x!}{(x-5)!} \cdot (x-5)!} = 720$.
Упростим знаменатель дроби:
$\frac{x!}{(x-5)!} \cdot (x-5)! = x!$.
Уравнение принимает вид:
$\frac{(x+3)!}{x!} = 720$.
Упростим левую часть:
$\frac{x! \cdot (x+1)(x+2)(x+3)}{x!} = (x+1)(x+2)(x+3)$.
Получаем уравнение:
$(x+1)(x+2)(x+3) = 720$.
Мы ищем три последовательных натуральных числа, произведение которых равно 720. Оценим кубический корень из 720: $\sqrt[3]{720} \approx \sqrt[3]{729} = 9$. Значит, искомые числа близки к 9. Проверим числа 8, 9, 10:
$8 \cdot 9 \cdot 10 = 72 \cdot 10 = 720$.
Следовательно, $x+1=8$, $x+2=9$, $x+3=10$. Из всех этих равенств получаем $x=7$.
Найденное значение $x=7$ удовлетворяет ОДЗ ($7 \ge 5$).
Ответ: $x=7$.

4) Исходное уравнение: $\frac{P_{x+1}}{A_{x-1}^{x-4} \cdot P_3} = 210$.
Определим ОДЗ. Для $P_{x+1}$ нужно $x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$. Для $A_{x-1}^{x-4}$ нужно $x-1 \ge x-4$ (верно всегда) и $x-4 \ge 0 \Rightarrow x \ge 4$. $P_3$ определено. Общая ОДЗ для натуральных $x$: $x \in \mathbb{N}, x \ge 4$.
Подставим формулы в уравнение:
$P_{x+1} = (x+1)!$
$A_{x-1}^{x-4} = \frac{(x-1)!}{((x-1)-(x-4))!} = \frac{(x-1)!}{3!}$
$P_3 = 3!$
$\frac{(x+1)!}{\frac{(x-1)!}{3!} \cdot 3!} = 210$.
Упростим знаменатель:
$\frac{(x-1)!}{3!} \cdot 3! = (x-1)!$.
Уравнение принимает вид:
$\frac{(x+1)!}{(x-1)!} = 210$.
Упростим левую часть:
$\frac{(x-1)! \cdot x \cdot (x+1)}{(x-1)!} = x(x+1)$.
Получаем квадратное уравнение:
$x(x+1) = 210$
$x^2 + x - 210 = 0$.
Найдем корни через дискриминант:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-210) = 1 + 840 = 841 = 29^2$.
$x_1 = \frac{-1 - 29}{2} = \frac{-30}{2} = -15$.
$x_2 = \frac{-1 + 29}{2} = \frac{28}{2} = 14$.
Корень $x_1=-15$ не является натуральным числом. Корень $x_2=14$ является натуральным числом и удовлетворяет ОДЗ ($14 \ge 4$).
Ответ: $x=14$.

14.12. Решите в натуральных числах уравнение:

1) $A_x^2 = 20$;

2) $A_x^5 = 18 \cdot A_{x-2}^4$;

3) $\frac{A_x^3 + 3A_x^2}{P_{x+1}} = \frac{1}{2}$.

1) $A_x^2 = 20$

По определению числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. В нашем случае $n=x$ и $k=2$.

$A_x^2 = \frac{x!}{(x-2)!} = \frac{x(x-1)(x-2)!}{(x-2)!} = x(x-1)$.

Условие задачи заключается в решении в натуральных числах, а для существования $A_x^2$ необходимо, чтобы $x \ge 2$. Таким образом, мы ищем натуральные решения при $x \ge 2$.

Подставим выражение для $A_x^2$ в уравнение:

$x(x-1) = 20$

Раскроем скобки и получим квадратное уравнение:

$x^2 - x - 20 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а их произведение равно $-20$. Корнями являются числа $5$ и $-4$.

$x_1 = 5$, $x_2 = -4$.

Корень $x_1 = 5$ является натуральным числом и удовлетворяет условию $x \ge 2$.

Корень $x_2 = -4$ не является натуральным числом, следовательно, не является решением задачи.

Ответ: $x=5$.

2) $A_x^5 = 18 \cdot A_{x-2}^4$

Запишем выражения для размещений, используя формулу $A_n^k = n(n-1)...(n-k+1)$:

$A_x^5 = x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$

$A_{x-2}^4 = (x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$

Определим область допустимых значений (ОДЗ) для $x$. Для существования $A_x^5$ необходимо $x \ge 5$. Для $A_{x-2}^4$ необходимо $x-2 \ge 4$, то есть $x \ge 6$. Так как решения должны быть натуральными, ОДЗ: $x \in \mathbb{N}$, $x \ge 6$.

Подставим выражения в уравнение:

$x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 18 \cdot (x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$

Так как $x \ge 6$, то множители $(x-2)$, $(x-3)$ и $(x-4)$ не равны нулю. Мы можем разделить обе части уравнения на произведение $(x-2)(x-3)(x-4)$:

$x(x-1) = 18(x-5)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - x = 18x - 90$

$x^2 - 19x + 90 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $19$, а произведение $90$. Легко подобрать корни: $x_1 = 9$ и $x_2 = 10$.

Оба корня $x=9$ и $x=10$ являются натуральными числами и удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 6$).

Ответ: $x=9, x=10$.

3) $\frac{A_x^3 + 3A_x^2}{P_{x+1}} = \frac{1}{2}$

Используем определения размещений $A_x^k$ и перестановок $P_n$:

$A_x^3 = \frac{x!}{(x-3)!} = x(x-1)(x-2)$

$A_x^2 = \frac{x!}{(x-2)!} = x(x-1)$

$P_{x+1} = (x+1)!$

ОДЗ для $x$: для $A_x^3$ необходимо $x \ge 3$. Для $A_x^2$ необходимо $x \ge 2$. Поскольку ищем натуральные решения, получаем $x \in \mathbb{N}$, $x \ge 3$.

Преобразуем числитель дроби:

$A_x^3 + 3A_x^2 = x(x-1)(x-2) + 3x(x-1)$

Вынесем общий множитель $x(x-1)$ за скобки:

$x(x-1)[(x-2) + 3] = x(x-1)(x+1)$

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$\frac{x(x-1)(x+1)}{(x+1)!} = \frac{1}{2}$

Используем свойство факториала $(x+1)! = (x+1) \cdot x \cdot (x-1) \cdot (x-2)!$ и сократим дробь:

$\frac{x(x-1)(x+1)}{(x+1)x(x-1)(x-2)!} = \frac{1}{2}$

После сокращения получаем:

$\frac{1}{(x-2)!} = \frac{1}{2}$

Отсюда следует, что $(x-2)! = 2$.

Мы знаем, что $2! = 2$. Следовательно:

$x-2 = 2$

$x = 4$

Полученный корень $x=4$ является натуральным числом и удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 3$).

Ответ: $x=4$.