Страница 125 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.13. Сколькими способами в таблице размером $n \times n$ можно выбрать $n$ клеточек так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце была одна выбранная клеточка?

14.13. Рассмотрим таблицу размером $n \times n$. Нам нужно выбрать $n$ клеточек так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце была ровно одна выбранная клеточка.

Будем делать выбор последовательно по строкам.

1. В первой строке мы можем выбрать любую из $n$ клеточек (столбцов). Таким образом, у нас есть $n$ способов выбора.

2. Перейдем ко второй строке. Согласно условию, в каждом столбце должна быть только одна выбранная клеточка. Так как в первой строке мы уже заняли один столбец, для второй строки остается $n-1$ свободных столбцов. Следовательно, у нас есть $n-1$ способ выбрать клеточку во второй строке.

3. Для третьей строки уже будут заняты два столбца (выборами в первой и второй строках). Поэтому для выбора клеточки в третьей строке остается $n-2$ свободных столбца.

4. Продолжая этот процесс, для $k$-ой строки у нас будет $n-(k-1)$ вариантов выбора, так как $k-1$ столбцов уже будут заняты предыдущими $k-1$ строками.

5. Наконец, для последней, $n$-ой строки, все $n-1$ столбцов будут заняты предыдущими выборами, и останется только одна свободная клеточка в одном единственном столбце. Таким образом, у нас будет всего 1 способ выбора.

По правилу произведения в комбинаторике, общее число способов равно произведению числа способов на каждом шаге: $N = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1$

Это произведение является определением факториала числа $n$ и обозначается как $n!$.

Таким образом, существует $n!$ способов выбрать $n$ клеток в таблице $n \times n$ с соблюдением заданных условий. Эта задача эквивалентна нахождению числа перестановок $n$ элементов.

Ответ: $n!$

14.14. На плоскости отметили 10 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколько различных незамкнутых ломаных с вершинами в данных точках можно построить, если ломаная должна проходить через каждую из десяти точек по одному разу?

Для того чтобы построить незамкнутую ломаную, проходящую через каждую из 10 точек по одному разу, нам нужно выбрать порядок, в котором эти точки будут соединены. По сути, каждая такая ломаная представляет собой упорядоченную последовательность всех 10 точек.

Задача сводится к нахождению количества различных способов упорядочить 10 точек. Это является классической задачей комбинаторики на нахождение числа перестановок.

Число перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$. В данном случае у нас 10 точек, то есть $n=10$.

Количество всех возможных последовательностей из 10 точек равно:

$P_{10} = 10! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 = 3 628 800$

Однако, ломаная как геометрический объект не имеет направления. Это означает, что ломаная, построенная по последовательности точек $A_1, A_2, \dots, A_{10}$, является той же самой ломаной, что и построенная по обратной последовательности $A_{10}, A_9, \dots, A_1$. Например, ломаная, соединяющая точки в порядке А-В-С, и ломаная С-В-А — это один и тот же набор отрезков.

Поскольку ломаная незамкнута, любая последовательность и ее обратная версия не совпадают (кроме случая с одной или двумя точками, что не применимо здесь). Таким образом, каждая уникальная ломаная линия была посчитана нами дважды в общем числе перестановок.

Чтобы найти количество различных ломаных, нужно общее число перестановок разделить на 2:

$N = \frac{10!}{2} = \frac{3 628 800}{2} = 1 814 400$

Условие, что никакие три точки не лежат на одной прямой, гарантирует, что любая последовательность вершин действительно образует ломаную линию, а не частично или полностью прямую.

Ответ: $1 814 400$.

14.15. Сколькими способами 30 учеников могут сесть за 15 парт?

Задача заключается в нахождении количества способов рассадить 30 учеников за 15 двухместных парт.

Для решения будем исходить из следующих предположений, которые являются стандартными для такого рода задач:

• Все 30 учеников — это разные личности, то есть они различимы.
• Все 15 парт различимы, так как занимают уникальные положения в пространстве класса (например, первая парта в ряду у окна отличается от первой парты в центральном ряду).
• Каждая парта имеет два места (например, левое и правое), и эти места также различимы. Если ученики А и Б поменяются местами за одной и той же партой, это будет считаться новой рассадкой.

Исходя из этих условий, мы имеем 30 различных учеников и 30 различных посадочных мест:

$15 \text{ парт} \times 2 \text{ места} = 30 \text{ мест}$

Таким образом, задача сводится к вычислению количества способов, которыми можно разместить 30 различных объектов (учеников) на 30 различных позициях (местах). Это является классической задачей на нахождение числа перестановок.

Рассмотрим процесс рассадки пошагово:

• Для первого ученика есть 30 вариантов выбора места.
• Когда первый ученик выбрал свое место, для второго ученика остается 29 свободных мест.
• Для третьего ученика остается 28 свободных мест.
• Этот процесс продолжается до тех пор, пока не останется последний, тридцатый ученик, для которого будет только 1 свободное место.

По основному правилу комбинаторики (правилу умножения), общее количество способов рассадки равно произведению числа вариантов на каждом шаге:

$N = 30 \times 29 \times 28 \times \dots \times 2 \times 1$

Данное произведение является факториалом числа 30 и обозначается как $30!$.

Ответ: $30!$.

14.16. Руководство фирмы приобрело для своих сотрудников 6 туристических путёвок в разные страны. Сколькими способами эти путёвки можно распределить между 25 сотрудниками, если один сотрудник не может получить более одной путёвки?

14.16.

В данной задаче требуется найти количество способов распределить 6 различных туристических путёвок среди 25 сотрудников. Ключевые условия: путёвки различны (в разные страны), и один сотрудник не может получить более одной путёвки.

Поскольку путёвки различны, важен порядок их распределения. Например, если сотрудник Иванов получит путёвку в Испанию, а Петров — в Италию, это один способ. А если Иванов получит путёвку в Италию, а Петров — в Испанию, это уже другой способ. Это означает, что мы имеем дело с упорядоченной выборкой без повторений.

В комбинаторике такие выборки называются размещениями. Число размещений из $n$ элементов по $k$ (в нашем случае из 25 сотрудников по 6 путёвкам) вычисляется по формуле:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

где $n$ — общее количество элементов, из которых производится выбор (число сотрудников, $n=25$), а $k$ — количество выбираемых элементов (число путёвок, $k=6$).

Подставим наши значения в формулу:

$A_{25}^6 = \frac{25!}{(25-6)!} = \frac{25!}{19!} = 25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21 \times 20$

Рассуждая по шагам, первую путёвку можно вручить любому из 25 сотрудников. После этого для второй путёвки остаётся 24 кандидата. Для третьей — 23, и так далее, до шестой путёвки, для которой останется 20 кандидатов. По правилу умножения общее число способов равно произведению:

$25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21 \times 20 = 127512000$

Ответ: 127 512 000.

14.17. В коробке лежат $n$ карточек, на которых записаны числа от 1 до $n$. Из коробки надо последовательно выбрать 5 карточек. Сколькими способами можно сделать такой выбор?

Эта задача по комбинаторике. Нам нужно найти количество способов последовательно выбрать 5 карточек из $n$ имеющихся. Поскольку выбор последовательный, порядок, в котором извлекаются карточки, важен. Например, набор карточек {1, 2, 3, 4, 5}, извлеченный в порядке (1, 2, 3, 4, 5), — это один способ, а извлеченный в порядке (5, 4, 3, 2, 1) — это другой способ. Так как карточки извлекаются из коробки, выборка происходит без возвращения.

Такие упорядоченные выборки без повторений называются размещениями. Число размещений из $n$ элементов по $k$ обозначается $A_n^k$ и находится по формуле: $A_n^k = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае общее число элементов (карточек) $n$, а количество элементов в выборке $k=5$. Можно рассуждать пошагово, применяя правило произведения:

- Для выбора первой карточки есть $n$ возможностей.

- После того как первая карточка выбрана, в коробке осталась $n-1$ карточка. Таким образом, для выбора второй карточки есть $n-1$ возможность.

- Для выбора третьей карточки остается $n-2$ возможности.

- Для выбора четвертой карточки — $n-3$ возможности.

- Для выбора пятой карточки — $n-4$ возможности.

Общее число способов равно произведению числа возможностей на каждом шаге: $n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3) \cdot (n-4)$.

Это число и есть $A_n^5$. Важно отметить, что задача имеет решение только при условии, что $n \ge 5$, так как невозможно выбрать 5 карточек, если их в коробке меньше.

Ответ: $n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)$

14.18. Сколько существует пятизначных чисел, которые делятся нацело на 5?

Чтобы найти количество пятизначных чисел, которые делятся нацело на 5, можно воспользоваться комбинаторным методом или свойствами арифметической прогрессии.

Метод 1: Комбинаторный подход

Пятизначное число состоит из пяти цифр. Рассмотрим, сколько существует вариантов для каждой из них с учётом заданных условий.

• Первая цифра: Пятизначное число не может начинаться с нуля. Следовательно, на первом месте может стоять любая цифра от 1 до 9. Всего 9 вариантов.
• Вторая, третья и четвертая цифры: Для этих позиций нет ограничений, поэтому на каждом из этих мест может стоять любая цифра от 0 до 9. Это даёт по 10 вариантов для каждой позиции.
• Пятая цифра: Согласно признаку делимости на 5, число должно оканчиваться на 0 или 5. Таким образом, для последней цифры есть 2 варианта.

Чтобы найти общее количество таких чисел, необходимо перемножить количество вариантов для каждой позиции (правило умножения):

$N = 9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 2 = 18000$

Метод 2: Арифметическая прогрессия

Пятизначные числа, делящиеся на 5, образуют арифметическую прогрессию.

• Наименьшее пятизначное число — 10000. Оно делится на 5, значит, это первый член нашей прогрессии ($a_1 = 10000$).
• Наибольшее пятизначное число — 99999. Наибольшее пятизначное число, кратное 5, — это 99995. Это последний член прогрессии ($a_n = 99995$).
• Разность прогрессии ($d$) равна 5, так как мы ищем числа, кратные 5.

Количество членов ($n$) в этой прогрессии можно найти по формуле n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим наши значения:

$99995 = 10000 + (n-1) \cdot 5$

Выразим $n$:

$99995 - 10000 = (n-1) \cdot 5$

$89995 = (n-1) \cdot 5$

$n-1 = \frac{89995}{5}$

$n-1 = 17999$

$n = 17999 + 1 = 18000$

Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: существует 18000 пятизначных чисел, которые делятся нацело на 5.

14.19. Сколько существует семизначных чисел, которые делятся нацело на 25?

Для решения данной задачи можно использовать два способа: комбинаторный и с помощью арифметической прогрессии.

Способ 1: Комбинаторный метод

Этот метод основан на признаке делимости на 25. Число делится на 25 без остатка тогда и только тогда, когда число, образованное его двумя последними цифрами, делится на 25. Существует четыре таких двузначных окончания: 00, 25, 50 и 75.

Рассмотрим структуру семизначного числа.

• Для последних двух цифр есть 4 варианта.
• Для первой цифры, которая не может быть нулём (иначе число не будет семизначным), есть 9 вариантов (цифры от 1 до 9).
• Для каждой из оставшихся четырёх цифр (со второй по пятую) есть по 10 вариантов (цифры от 0 до 9).

Чтобы найти общее количество таких чисел, необходимо перемножить количество доступных вариантов для всех позиций:

$$N = (\text{варианты для 1-й цифры}) \times (\text{варианты для 2-5-й цифр}) \times (\text{варианты для 6-7-й цифр})$$

$$N = 9 \times 10^4 \times 4$$

$$N = 90\;000 \times 4 = 360\;000$$

Способ 2: Метод арифметической прогрессии

Семизначные числа, которые делятся на 25, образуют арифметическую прогрессию с разностью $d = 25$.

Первый член этой прогрессии ($a_1$) — это наименьшее семизначное число, кратное 25. Наименьшее семизначное число — 1 000 000. Так как $1\;000\;000 \div 25 = 40\;000$, оно делится на 25. Следовательно, $a_1 = 1\;000\;000$.

Последний член прогрессии ($a_n$) — это наибольшее семизначное число, кратное 25. Наибольшее семизначное число — 9 999 999. Чтобы найти наибольшее кратное 25, не превышающее его, найдем остаток от деления: $9\;999\;999 = 25 \times 399\;999 + 24$. Отнимем остаток: $9\;999\;999 - 24 = 9\;999\;975$. Таким образом, $a_n = 9\;999\;975$.

Количество членов прогрессии $n$ находим по формуле:

$$n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$$

$$n = \frac{9\;999\;975 - 1\;000\;000}{25} + 1 = \frac{8\;999\;975}{25} + 1$$

$$n = 359\;999 + 1 = 360\;000$$

Оба метода дают одинаковый результат.

Ответ: 360 000

14.20. У учащегося есть 7 книг по математике, 4 книги по физике и 2 книги по астрономии. Сколькими способами он может расставить эти книги на полке так, чтобы книги по одному предмету стояли рядом?

Для решения этой задачи необходимо использовать комбинаторный принцип умножения. Задача решается в несколько этапов: сначала мы находим количество способов расставить группы книг по предметам, затем — количество способов расставить книги внутри каждой группы, и, наконец, перемножаем эти результаты.

Поскольку книги по одному предмету должны стоять рядом, мы можем рассматривать каждую группу книг как один единый объект или блок. Таким образом, у нас есть 3 таких блока:
1. Блок книг по математике (7 шт.)
2. Блок книг по физике (4 шт.)
3. Блок книг по астрономии (2 шт.)

Количество способов переставить эти 3 блока на полке равно числу перестановок из 3 элементов, которое вычисляется как $3!$ (3 факториал):
$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ способов.

Теперь необходимо найти количество возможных перестановок книг внутри каждого блока.
- Для 7 книг по математике количество перестановок равно $7!$:
$P_7 = 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$ способов.
- Для 4 книг по физике количество перестановок равно $4!$:
$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ способа.
- Для 2 книг по астрономии количество перестановок равно $2!$:
$P_2 = 2! = 2 \times 1 = 2$ способа.

Чтобы найти общее количество способов расстановки, нужно перемножить количество способов расстановки блоков и количество способов перестановок книг внутри каждого блока.
Общее число способов $N = (P_3) \times (P_7) \times (P_4) \times (P_2)$.
$N = 3! \times 7! \times 4! \times 2!$
Подставим вычисленные значения:
$N = 6 \times 5040 \times 24 \times 2$
$N = 30240 \times 48$
$N = 1451520$

Ответ: $1451520$

14.21. Пять мальчиков и пять девочек садятся в ряд на десяти стульях. Сколькими способами они могут расположиться так, чтобы мальчики сидели на стульях с чётными номерами, а девочки — на стульях с нечётными номерами?

В задаче требуется найти общее число способов рассадить 5 мальчиков и 5 девочек на 10 стульях при определённых условиях.

Условие задачи заключается в том, что мальчики должны занимать стулья с чётными номерами, а девочки — с нечётными.

Пронумеруем стулья от 1 до 10.

• Стулья с нечётными номерами: 1, 3, 5, 7, 9. Всего 5 стульев.
• Стулья с чётными номерами: 2, 4, 6, 8, 10. Всего 5 стульев.

Таким образом, задача сводится к двум независимым подзадачам:

1. Найти количество способов рассадить 5 девочек на 5 стульев с нечётными номерами.Это является задачей на перестановки. Количество способов рассадить 5 различных девочек на 5 различных местах равно числу перестановок из 5 элементов, которое вычисляется как факториал числа 5:$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ способов.

2. Найти количество способов рассадить 5 мальчиков на 5 стульев с чётными номерами.Аналогично, количество способов рассадить 5 различных мальчиков на 5 различных местах также равно числу перестановок из 5 элементов:$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ способов.

Поскольку рассадка мальчиков и рассадка девочек являются независимыми событиями, общее количество способов расположения находится по правилу произведения в комбинаторике. Для этого нужно перемножить количество способов рассадки девочек на количество способов рассадки мальчиков.

Общее количество способов = (способы для девочек) $\times$ (способы для мальчиков) = $5! \times 5! = 120 \times 120 = 14400$.

Ответ: 14400.

14.22. В 10 классе 32 учащихся. Каждые двое учащихся обменялись друг с другом фотографиями. Сколько всего было подарено фотографий?

В классе 32 учащихся. По условию, каждые двое учащихся обменялись фотографиями. Это означает, что для любой пары учеников (например, ученик А и ученик Б) ученик А дарит фотографию ученику Б, и ученик Б дарит фотографию ученику А.

Задачу можно решить логическим путем. Рассмотрим одного любого ученика. Он должен подарить по одной фотографии всем остальным ученикам в классе. Так как всего в классе 32 ученика, то у каждого ученика есть $32 - 1 = 31$ одноклассник.

Следовательно, один ученик дарит 31 фотографию.

Поскольку в классе 32 ученика, и каждый из них дарит по 31 фотографии, то общее количество подаренных фотографий равно произведению числа учеников на количество фотографий, которое дарит каждый:

$32 \cdot 31 = 992$

Другой способ решения — с использованием формул комбинаторики. Каждый акт дарения фотографии — это упорядоченная пара (дарящий, получающий). Нам нужно найти количество таких пар, которые можно составить из 32 учеников. Это задача на нахождение числа размещений из $n$ элементов по $k$, где $n=32$, а $k=2$.

Формула для числа размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Подставим наши значения:

$A_{32}^2 = \frac{32!}{(32-2)!} = \frac{32!}{30!} = \frac{30! \cdot 31 \cdot 32}{30!} = 31 \cdot 32 = 992$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 992

14.23. Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, чтобы цифры не повторялись и крайние цифры были чётными?

14.23.

Для решения задачи необходимо использовать принципы комбинаторики. Нам нужно составить шестизначное число из заданного набора цифр с определёнными ограничениями.

Заданный набор цифр: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Всего 7 цифр.

Условия:

• Число должно быть шестизначным.
• Цифры в числе не должны повторяться.
• Первая и последняя цифры (крайние) должны быть чётными.

Решение можно разбить на следующие шаги:

1. Выбор и расстановка цифр на крайние позиции.

Крайние позиции — это первая и шестая. На них должны стоять чётные цифры. В нашем наборе есть три чётные цифры: {2, 4, 6}.

Нам нужно выбрать 2 цифры из этих 3 и расставить их на двух позициях. Порядок важен (число, начинающееся с 2, отличается от числа, начинающегося с 4), поэтому мы вычисляем количество размещений из 3 элементов по 2 ($A_3^2$).

Формула для размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Количество способов выбрать и расставить крайние цифры:

$A_3^2 = \frac{3!}{(3-2)!} = \frac{3!}{1!} = 3 \times 2 = 6$.

Также можно рассуждать так: на первую позицию можно поставить любую из 3 чётных цифр. После этого на последнюю позицию останется 2 варианта. Итого: $3 \times 2 = 6$ способов.

2. Выбор и расстановка цифр на средние позиции.

Мы уже использовали 2 цифры для крайних позиций. Из начальных 7 цифр у нас осталось $7 - 2 = 5$ цифр.

В шестизначном числе, после заполнения крайних позиций, остаются $6 - 2 = 4$ свободные средние позиции.

На эти 4 позиции нужно расставить 4 цифры из 5 оставшихся. Снова используем формулу размещений, на этот раз из 5 по 4 ($A_5^4$).

Количество способов заполнить средние позиции:

$A_5^4 = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{5!}{1!} = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$.

3. Расчёт общего количества чисел.

По правилу произведения в комбинаторике, общее количество возможных чисел равно произведению количества способов для каждого этапа.

Общее количество = (Количество способов для крайних позиций) $\times$ (Количество способов для средних позиций).

Общее количество = $A_3^2 \times A_5^4 = 6 \times 120 = 720$.

Таким образом, из данных цифр можно составить 720 различных шестизначных чисел, удовлетворяющих всем условиям.

Ответ: 720

14.24. В охранной фирме работает 15 человек. Надо организовать дежурство в трёхэтажном и четырёхэтажном зданиях, поставив по одному дежурному на каждом этаже. Сколько существует способов расставить дежурных?

Для решения этой задачи нам нужно определить общее количество постов для дежурства и затем вычислить, сколькими способами можно расставить на эти посты людей из имеющихся 15 человек.

Сначала найдем общее количество постов. В трёхэтажном здании 3 поста (по одному на каждом этаже), а в четырёхэтажном — 4 поста. Таким образом, общее количество постов, которые нужно занять, равно $3 + 4 = 7$.

На эти 7 постов нужно назначить 7 дежурных, выбрав их из 15 сотрудников. Поскольку все посты (например, первый этаж в первом здании и первый этаж во втором здании) различны, важен не только состав выбранных дежурных, но и то, на какой именно пост каждый из них назначен. Это означает, что порядок выбора имеет значение.

Задачу можно решить, используя правило произведения. Для первого поста есть 15 кандидатов. Для второго останется 14, для третьего — 13, и так далее, до седьмого поста, на который останется 9 кандидатов.

Общее число способов равно произведению числа выборов для каждого поста:$15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9$

Это соответствует вычислению числа размещений $k$ элементов из множества $n$ элементов по формуле:$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае $n=15$ (общее число сотрудников), а $k=7$ (число постов). Подставляем значения в формулу:$A_{15}^7 = \frac{15!}{(15-7)!} = \frac{15!}{8!} = 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9$

Выполним вычисления:$15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 = 32432400$

Ответ: 32 432 400

14.25. Сколько существует пятизначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна нечётная цифра?

Для решения этой задачи воспользуемся методом от противного. Вместо того чтобы считать числа, в которых есть хотя бы одна нечётная цифра, мы найдем общее количество пятизначных чисел и вычтем из него количество тех пятизначных чисел, которые состоят только из чётных цифр. Полученная разность и будет искомым числом.

1. Найдем общее количество пятизначных чисел.
Пятизначное число — это число от 10 000 до 99 999. Его первая цифра не может быть нулём.

• На первую позицию можно поставить любую цифру от 1 до 9 (9 вариантов).
• На каждую из следующих четырех позиций можно поставить любую цифру от 0 до 9 (10 вариантов).

Таким образом, общее количество пятизначных чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции:$N_{общ} = 9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 9 \times 10^4 = 90000$.

2. Найдем количество пятизначных чисел, состоящих только из чётных цифр.
Чётные цифры — это {0, 2, 4, 6, 8}. Всего их 5.
Чтобы составить пятизначное число только из чётных цифр, нужно учесть, что первая цифра не может быть нулём.

• На первую позицию можно поставить любую из 4 чётных цифр, кроме нуля (2, 4, 6, 8).
• На каждую из следующих четырех позиций можно поставить любую из 5 чётных цифр (0, 2, 4, 6, 8).

Количество таких чисел равно:$N_{чётн} = 4 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 4 \times 5^4 = 4 \times 625 = 2500$.

3. Найдем количество пятизначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна нечётная цифра.
Для этого из общего количества пятизначных чисел вычтем количество чисел, состоящих только из чётных цифр:$N = N_{общ} - N_{чётн} = 90000 - 2500 = 87500$.

Ответ: 87500

14.26. Сколько существует пятизначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна чётная цифра?

Для решения этой задачи воспользуемся методом от противного. Это значит, что мы сначала найдём общее количество всех пятизначных чисел, а затем вычтем из него количество тех пятизначных чисел, которые не удовлетворяют условию задачи, то есть тех, в записи которых нет ни одной чётной цифры.

1. Найдём общее количество пятизначных чисел.Пятизначное число не может начинаться с цифры 0. Следовательно, на первом месте может стоять любая из 9 цифр (от 1 до 9). На каждой из следующих четырёх позиций может стоять любая из 10 цифр (от 0 до 9).Таким образом, общее количество пятизначных чисел равно:$N_{общ} = 9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 90000$.

2. Теперь найдём количество пятизначных чисел, в записи которых нет ни одной чётной цифры. Это означает, что все цифры в числе должны быть нечётными.Нечётных цифр всего пять: {1, 3, 5, 7, 9}.Для каждой из пяти позиций в пятизначном числе мы можем выбрать любую из этих пяти цифр.Количество таких чисел равно:$N_{нечёт} = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^5 = 3125$.

3. Наконец, чтобы найти количество пятизначных чисел, в которых есть хотя бы одна чётная цифра, вычтем из общего количества пятизначных чисел количество чисел, состоящих только из нечётных цифр:$N = N_{общ} - N_{нечёт} = 90000 - 3125 = 86875$.

Ответ: 86875