Номер 14.24, страница 125 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона. Параграф 14. Перестановки. Размещения. Упражнения - номер 14.24, страница 125.

Учебник.

14.24. В охранной фирме работает 15 человек. Надо организовать дежурство в трёхэтажном и четырёхэтажном зданиях, поставив по одному дежурному на каждом этаже. Сколько существует способов расставить дежурных?

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи нам нужно определить общее количество постов для дежурства и затем вычислить, сколькими способами можно расставить на эти посты людей из имеющихся 15 человек.

Сначала найдем общее количество постов. В трёхэтажном здании 3 поста (по одному на каждом этаже), а в четырёхэтажном — 4 поста. Таким образом, общее количество постов, которые нужно занять, равно $3 + 4 = 7$.

На эти 7 постов нужно назначить 7 дежурных, выбрав их из 15 сотрудников. Поскольку все посты (например, первый этаж в первом здании и первый этаж во втором здании) различны, важен не только состав выбранных дежурных, но и то, на какой именно пост каждый из них назначен. Это означает, что порядок выбора имеет значение.

Задачу можно решить, используя правило произведения. Для первого поста есть 15 кандидатов. Для второго останется 14, для третьего — 13, и так далее, до седьмого поста, на который останется 9 кандидатов.

Общее число способов равно произведению числа выборов для каждого поста:$15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9$

Это соответствует вычислению числа размещений $k$ элементов из множества $n$ элементов по формуле:$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае $n=15$ (общее число сотрудников), а $k=7$ (число постов). Подставляем значения в формулу:$A_{15}^7 = \frac{15!}{(15-7)!} = \frac{15!}{8!} = 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9$

Выполним вычисления:$15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 = 32432400$

Ответ: 32 432 400