Номер 14.30, страница 126 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Готовимся к изучению новой темы. § 14. Перестановки. Размещения. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 14.30, страница 126.

14.30. Сколько существует двухэлементных подмножеств четырёхэлементного множества?

Эта задача заключается в определении количества способов выбрать 2 элемента из множества, содержащего 4 элемента. Поскольку порядок элементов в подмножестве не важен, мы имеем дело с сочетаниями.

Задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Прямой перебор

Пусть дано четырёхэлементное множество, например, $A = \{1, 2, 3, 4\}$. Перечислим все возможные подмножества, состоящие ровно из двух элементов:

$\{1, 2\}$, $\{1, 3\}$, $\{1, 4\}$
$\{2, 3\}$, $\{2, 4\}$
$\{3, 4\}$

Всего, как мы видим, существует 6 таких подмножеств.

Способ 2: Использование формулы сочетаний

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ элементов (то есть количество $k$-элементных подмножеств $n$-элементного множества) находится по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашей задаче общее число элементов в множестве $n = 4$, а число элементов в подмножестве $k = 2$.

Подставим эти значения в формулу:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!}$

Вычислим значение выражения:

$C_4^2 = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{24}{2 \times 2} = \frac{24}{4} = 6$

Оба способа дают один и тот же результат.

Ответ: 6