Номер 2, страница 128 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона. Параграф 15. Сочетания (комбинации). Вопросы к параграфу - номер 2, страница 128.

Учебник.

2. По какой формуле можно вычислить количество сочетаний из $n$ элементов по $k$ элементов?

Решение 2.

Количество сочетаний из $n$ элементов по $k$ элементов — это число способов выбрать $k$ элементов из множества, содержащего $n$ различных элементов, без учета порядка их выбора. Основное отличие сочетаний от размещений заключается в том, что в сочетаниях порядок элементов не важен (например, набор {яблоко, груша} идентичен набору {груша, яблоко}).

Для вычисления количества сочетаний, которое стандартно обозначается как $C_n^k$ или $\binom{n}{k}$ (читается "це из эн по ка"), используется следующая формула:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В этой формуле:
$n$ – это общее число элементов в исходном множестве.
$k$ – это число элементов в выбираемой подгруппе, при этом должно выполняться условие $0 \le k \le n$.
$!$ – это знак факториала, который обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до указанного числа. Например, $5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$. По определению, $0! = 1$.

Эта формула получается из формулы для числа размещений (упорядоченных выборок) $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. Поскольку в сочетаниях порядок не важен, мы делим число размещений на количество способов, которыми можно упорядочить $k$ выбранных элементов. Это количество равно числу перестановок из $k$ элементов, то есть $k!$. Таким образом, мы "убираем" учет порядка, получая формулу для сочетаний.

Ответ: Формула для вычисления количества сочетаний из $n$ элементов по $k$ элементов: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.