Страница 129 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.8. На плоскости отметили 10 точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

Для построения одного треугольника необходимо выбрать 3 точки, которые будут его вершинами. По условию задачи, у нас есть 10 точек, и никакие три из них не лежат на одной прямой. Это означает, что любая комбинация из трех точек однозначно определяет треугольник.

Задача сводится к тому, чтобы найти количество способов выбрать 3 точки из 10 доступных. Поскольку порядок выбора точек для треугольника не важен (треугольник ABC — это тот же самый, что и треугольник BAC), мы имеем дело с сочетаниями.

Количество сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае, общее число точек $n=10$, а число вершин в треугольнике $k=3$. Подставим эти значения в формулу:
$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!}$

Теперь выполним вычисления, сократив факториалы:
$C_{10}^3 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{720}{6} = 120$

Таким образом, существует 120 различных способов выбрать 3 точки из 10, а значит, можно образовать 120 треугольников.

Ответ: 120

15.9. Дан выпуклый $n$-угольник. Сколько существует четырёхугольников с вершинами, содержащимися среди вершин данного $n$-угольника?

15.9. Чтобы образовать четырёхугольник, необходимо выбрать 4 вершины из $n$ вершин данного выпуклого $n$-угольника. Поскольку исходный многоугольник является выпуклым, любые три его вершины не лежат на одной прямой. Это означает, что любой выбор четырёх вершин однозначно определяет один выпуклый четырёхугольник.

Порядок выбора вершин для формирования четырёхугольника не имеет значения. Например, четырёхугольник с вершинами A, B, C, D — это тот же самый четырёхугольник, что и с вершинами D, C, B, A. Следовательно, задача сводится к нахождению числа сочетаний из $n$ элементов по 4.

Число сочетаний из $n$ по $k$ (количество способов выбрать $k$ элементов из множества $n$ без учёта порядка) вычисляется по формуле биномиального коэффициента: $C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае общее количество вершин $n$, а для четырёхугольника мы выбираем $k=4$ вершин. Таким образом, количество возможных четырёхугольников равно: $C_n^4 = \binom{n}{4} = \frac{n!}{4!(n-4)!}$

Распишем факториалы: $C_n^4 = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3) \cdot (n-4)!}{4! \cdot (n-4)!} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$

Эта формула имеет смысл только при $n \ge 4$, так как для образования четырёхугольника необходимо как минимум 4 вершины. Если $n < 4$, то количество таких четырёхугольников равно нулю.

Ответ: $\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$.

15.10. Встретившись, семеро знакомых пожали друг другу руки. Сколько рукопожатий было сделано?

Эта задача заключается в подсчете количества уникальных пар, которые можно составить из 7 человек. Каждое рукопожатие — это взаимодействие между двумя людьми, и порядок в этой паре не имеет значения (рукопожатие между человеком А и Б — это то же самое, что и рукопожатие между Б и А). Это классическая задача из комбинаторики на нахождение числа сочетаний.

Для решения можно использовать формулу числа сочетаний из $n$ элементов по $k$:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее количество людей $n = 7$, а для одного рукопожатия требуется $k = 2$ человека.

Подставляем эти значения в формулу:

$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2! \cdot 5!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{2 \cdot 1 \cdot 5!} = \frac{7 \cdot 6}{2} = \frac{42}{2} = 21$

Также задачу можно решить с помощью логических рассуждений:

Первый человек пожмет руку 6 остальным знакомым (6 рукопожатий).
Второй человек уже пожал руку первому, поэтому он пожмет руку оставшимся 5 людям (5 новых рукопожатий).
Третий человек пожмет руку оставшимся 4 людям (4 новых рукопожатия).
Четвертый — 3 людям (3 новых рукопожатия).
Пятый — 2 людям (2 новых рукопожатия).
Шестой — последнему, седьмому человеку (1 новое рукопожатие).
Седьмой к этому моменту уже обменялся рукопожатиями со всеми.

Чтобы найти общее количество рукопожатий, нужно сложить все эти значения:

$6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21$

Оба метода дают одинаковый результат.

Ответ: 21

15.11. В шахматной секции занимаются 5 девочек и 12 мальчиков. Сколькими способами можно сформировать команду из 2 девочек и 5 мальчиков для участия в соревнованиях?

Для решения данной задачи необходимо использовать комбинаторный подход. Поскольку порядок выбора членов команды не важен, мы будем использовать формулу для числа сочетаний. Задача решается в два этапа: сначала мы находим количество способов выбрать девочек, а затем — количество способов выбрать мальчиков. Итоговый результат будет произведением этих двух чисел.

Шаг 1: Вычисление количества способов выбрать девочек.

Нам нужно выбрать 2 девочки из 5. Количество сочетаний из $n$ по $k$ находится по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае, для девочек $n=5$ и $k=2$.

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ способов.

Шаг 2: Вычисление количества способов выбрать мальчиков.

Теперь нужно выбрать 5 мальчиков из 12. Здесь $n=12$ и $k=5$.

$C_{12}^5 = \frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12!}{5!7!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$

Выполним вычисления:

$C_{12}^5 = \frac{95040}{120} = 792$ способа.

Шаг 3: Вычисление общего количества способов сформировать команду.

Согласно правилу произведения в комбинаторике, чтобы найти общее число способов сформировать команду, нужно перемножить количество способов выбора девочек и количество способов выбора мальчиков.

Общее число способов = $C_5^2 \times C_{12}^5 = 10 \times 792 = 7920$.

Ответ: 7920

15.12. У одного мальчика есть 11 марок, а у другого – 20 марок (все марки разные). Сколькими способами можно обменять 3 марки одного мальчика на 3 марки другого?

Для решения этой задачи необходимо использовать методы комбинаторики. Процесс обмена состоит из двух независимых друг от друга действий:

1. Первый мальчик должен выбрать 3 марки из своих 11.
2. Второй мальчик должен выбрать 3 марки из своих 20.

Поскольку все марки разные и порядок, в котором мальчик выбирает марки для обмена, не важен, мы будем использовать формулу для числа сочетаний без повторений. Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

1. Выбор марок первым мальчиком.

Первый мальчик выбирает 3 марки из 11 имеющихся. В данном случае $n=11$, $k=3$. Число способов, которыми он может это сделать:

$C_{11}^3 = \frac{11!}{3!(11-3)!} = \frac{11!}{3!8!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 11 \cdot 5 \cdot 3 = 165$ способов.

2. Выбор марок вторым мальчиком.

Второй мальчик выбирает 3 марки из 20 имеющихся. В данном случае $n=20$, $k=3$. Число способов, которыми он может это сделать:

$C_{20}^3 = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20!}{3!17!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 19 \cdot 6 = 1140$ способов.

3. Общее количество способов обмена.

Согласно правилу произведения в комбинаторике, чтобы найти общее число способов совершить оба независимых действия, нужно перемножить количество способов для каждого действия.

Общее число способов = (число способов для первого мальчика) $\cdot$ (число способов для второго мальчика).

$N = C_{11}^3 \cdot C_{20}^3 = 165 \cdot 1140 = 188100$.

Ответ: 188100.

15.13. На плоскости задано 5 параллельных прямых. Их пересекают 7 параллельных прямых. Сколько параллелограммов при этом образовалось?

Параллелограмм образуется при пересечении двух пар параллельных прямых. Чтобы найти общее количество параллелограммов, нам нужно определить, сколькими способами можно выбрать две прямые из первого набора (5 параллельных прямых) и сколькими способами можно выбрать две прямые из второго набора (7 параллельных прямых), а затем перемножить эти результаты.

1. Вычислим количество способов выбрать 2 прямые из 5 данных параллельных прямых. Это является классической задачей на сочетания, так как порядок выбора прямых не важен. Количество сочетаний из $n$ по $k$ вычисляется по формуле:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
В нашем случае $n=5$ и $k=2$:
$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ способов.

2. Аналогично вычислим количество способов выбрать 2 прямые из 7 других параллельных прямых. Здесь $n=7$ и $k=2$:
$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ способ.

3. Согласно комбинаторному правилу произведения, общее количество параллелограммов равно произведению числа способов выбора прямых из первой группы и числа способов выбора прямых из второй группы.
Общее количество = $C_5^2 \times C_7^2 = 10 \times 21 = 210$.

Ответ: 210.

15.14. На прямой отметили 12 точек, а на параллельной ей прямой – 7 точек. Сколько существует четырёхугольников с вершинами в этих точках?

Чтобы построить четырёхугольник, используя точки, расположенные на двух параллельных прямых, необходимо выбрать четыре вершины так, чтобы никакие три из них не лежали на одной прямой. В данном случае это означает, что вершины четырёхугольника должны располагаться на обеих прямых.

Единственный способ сформировать четырёхугольник из точек на двух параллельных прямых — это выбрать две вершины на одной прямой и две вершины на другой. Любой другой выбор (например, три точки на одной прямой и одна на другой) приведёт к образованию треугольника, а не четырёхугольника.

Таким образом, задача сводится к двум независимым действиям:

1. Выбрать 2 точки из 12 доступных на первой прямой.
2. Выбрать 2 точки из 7 доступных на второй прямой.

Количество способов выбрать $k$ элементов из множества $n$ элементов (без учёта порядка) определяется числом сочетаний, формула которого: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

1. Найдём количество способов выбрать 2 точки из 12 на первой прямой:
$C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2!10!} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 6 \times 11 = 66$ способов.

2. Найдём количество способов выбрать 2 точки из 7 на второй прямой:
$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 7 \times 3 = 21$ способ.

Чтобы найти общее количество возможных четырёхугольников, нужно перемножить количество способов для каждого независимого выбора (согласно комбинаторному правилу умножения):
$N_{четыр.} = C_{12}^2 \times C_7^2 = 66 \times 21 = 1386$.

Ответ: 1386.

15.15. Среди 20 рабочих 7 штукатуров. Сколькими способами можно составить бригаду из 5 человек так, чтобы в неё входило 2 штукатура?

15.15.

Для решения этой задачи необходимо использовать комбинаторику. Процесс формирования бригады можно разделить на два независимых этапа:

1. Выбор штукатуров.
2. Выбор остальных рабочих.

Поскольку порядок выбора людей в бригаду не имеет значения, для каждого этапа мы будем использовать формулу числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество выбираемых элементов.

Этап 1: Выбор штукатуров.
Согласно условию, в бригаде должно быть ровно 2 штукатура. Всего имеется 7 штукатуров. Рассчитаем количество способов выбрать 2 штукатуров из 7:
$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ способ.

Этап 2: Выбор остальных рабочих.
Бригада состоит из 5 человек. Так как 2 места уже заняты штукатурами, нужно выбрать еще $5 - 2 = 3$ человека.
Этих рабочих нужно выбрать из тех, кто не является штукатуром. Найдем их количество:
$20 \text{ (всего рабочих)} - 7 \text{ (штукатуров)} = 13$ рабочих.
Теперь рассчитаем количество способов выбрать 3 рабочих из 13:
$C_{13}^3 = \frac{13!}{3!(13-3)!} = \frac{13!}{3!10!} = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 13 \times 2 \times 11 = 286$ способов.

Общее количество способов.
Чтобы найти общее количество способов сформировать бригаду с заданными условиями, необходимо перемножить количество способов для каждого из независимых этапов (согласно правилу произведения в комбинаторике).
$N = C_7^2 \times C_{13}^3 = 21 \times 286 = 6006$ способов.

Ответ: 6006.

15.16. Для школьной лотереи подготовили 100 билетов, из которых 12 – выигрышные. Первый ученик наугад выбирает 10 билетов. Сколько существует вариантов, при которых он выберет 3 выигрышных билета?

Для решения этой задачи необходимо использовать методы комбинаторики, так как порядок, в котором ученик выбирает билеты, не имеет значения. Мы будем использовать формулу для числа сочетаний.

По условию, всего имеется 100 лотерейных билетов. Из них:

• 12 билетов — выигрышные.
• $100 - 12 = 88$ билетов — невыигрышные.

Ученик выбирает 10 билетов. Требуется найти количество вариантов, при которых он выберет ровно 3 выигрышных билета. Если 3 билета выигрышные, то остальные $10 - 3 = 7$ билетов должны быть невыигрышными.

Таким образом, задача сводится к нахождению числа способов, которыми можно выбрать 3 выигрышных билета из 12 и 7 невыигрышных билетов из 88.

1. Найдем количество способов выбрать 3 выигрышных билета из 12. Для этого используем формулу числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:

$C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 11 \cdot 10 = 220$ способов.

2. Найдем количество способов выбрать 7 невыигрышных билетов из 88:

$C_{88}^7 = \frac{88!}{7!(88-7)!} = \frac{88!}{7!81!} = \frac{88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83 \cdot 82}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Выполним вычисления:

$C_{88}^7 = \frac{88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83 \cdot 82}{5040} = 6 \ 348 \ 337 \ 336$ способов.

Согласно правилу произведения в комбинаторике, чтобы найти общее число вариантов, необходимо перемножить количество способов для каждого из этих независимых событий:

$N_{общ} = C_{12}^3 \times C_{88}^7 = 220 \times 6 \ 348 \ 337 \ 336 = 1 \ 396 \ 634 \ 213 \ 920$.

Ответ: существует $1 \ 396 \ 634 \ 213 \ 920$ вариантов, при которых ученик выберет 3 выигрышных билета.

15.17. В классе 35 учащихся. Для участия в турнире «Математический бой» формируется команда, состоящая из капитана, его заместителя и четырёх членов команды. Сколькими способами можно сформировать такую команду?

Для решения этой задачи необходимо последовательно определить количество способов для выбора каждой из позиций в команде и затем перемножить эти значения, используя правило произведения в комбинаторике.

Команда состоит из капитана, его заместителя и четырёх рядовых членов. Всего в команде $1 + 1 + 4 = 6$ человек. Общее число учащихся в классе — 35.

Процесс формирования команды можно разбить на три этапа:

1. Выбор капитана. Капитана можно выбрать из 35 учащихся. Следовательно, существует 35 способов.
2. Выбор заместителя капитана. После того как капитан выбран, остаются 34 учащихся. Заместителя можно выбрать из этих 34 человек, поэтому существует 34 способа.
3. Выбор четырёх членов команды. После выбора капитана и его заместителя в классе остаются $35 - 2 = 33$ учащихся. Из этих 33 человек нужно выбрать 4. Так как порядок выбора этих четырёх членов команды не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Число способов выбрать 4 членов команды из 33 учащихся равно:

$C_{33}^4 = \frac{33!}{4!(33-4)!} = \frac{33!}{4!29!} = \frac{33 \times 32 \times 31 \times 30}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$

Рассчитаем это значение:

$C_{33}^4 = \frac{33 \times 32 \times 31 \times 30}{24}$

Сократим дробь:

$C_{33}^4 = 33 \times \frac{32}{8} \times 31 \times \frac{30}{3} = 33 \times 4 \times 31 \times 10 = 132 \times 310 = 40920$

Таким образом, существует 40 920 способов выбрать четырёх членов команды.

Чтобы найти общее количество способов сформировать команду, перемножим количество способов на каждом этапе:

Общее число способов = (способы выбрать капитана) × (способы выбрать заместителя) × (способы выбрать 4 членов команды)

Общее число способов = $35 \times 34 \times 40920 = 1190 \times 40920 = 48694800$

Ответ: 48 694 800 способов.

15.18. На прямой отметили 12 точек, а на параллельной ей прямой – 7 точек. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

Для построения треугольника необходимо выбрать три вершины, которые не лежат на одной прямой. Поскольку в задаче все точки расположены на двух параллельных прямых, любой выбор трех точек, не принадлежащих целиком одной прямой, образует треугольник. Это приводит к двум возможным вариантам выбора вершин.

1. Две вершины выбираются с первой прямой (где 12 точек), а одна — со второй прямой (где 7 точек).
Количество способов выбрать 2 точки из 12 на первой прямой определяется числом сочетаний из 12 по 2, которое обозначается как $C_{12}^2$.
$C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = 66$ способов.
Количество способов выбрать 1 точку из 7 на второй прямой равно 7.
Общее число треугольников для этого случая равно произведению этих двух значений: $66 \times 7 = 462$.

2. Одна вершина выбирается с первой прямой, а две — со второй прямой.
Количество способов выбрать 1 точку из 12 на первой прямой равно 12.
Количество способов выбрать 2 точки из 7 на второй прямой определяется числом сочетаний из 7 по 2, т.е. $C_7^2$.
$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$ способ.
Общее число треугольников для этого случая равно: $12 \times 21 = 252$.

Чтобы найти общее количество возможных треугольников, необходимо сложить результаты, полученные в обоих случаях:
$462 + 252 = 714$.

Ответ: 714.

15.19. Сколько существует способов из 8 разных цветков составить букет с нечётным количеством цветков?

Задача заключается в том, чтобы найти количество способов составить букет с нечётным количеством цветков из 8 различных цветков. Так как порядок цветков в букете не важен, мы имеем дело с сочетаниями. Нечётное количество цветков может быть 1, 3, 5 или 7. Общее число способов — это сумма числа способов составить букет из каждого из этих количеств цветков.

Формула для числа сочетаний из $n$ по $k$ (выбор $k$ элементов из $n$ без учёта порядка) выглядит так:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Искомое количество способов равно сумме $C_8^1 + C_8^3 + C_8^5 + C_8^7$.

Способ 1: Прямое вычисление

Мы можем вычислить каждое слагаемое в сумме по отдельности.

• Количество способов выбрать 1 цветок из 8:

  $C_8^1 = \frac{8!}{1!(8-1)!} = \frac{8!}{1! \cdot 7!} = 8$

• Количество способов выбрать 3 цветка из 8:

  $C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$

• Количество способов выбрать 5 цветков из 8. Используя свойство симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$, получаем:

  $C_8^5 = C_8^{8-5} = C_8^3 = 56$

• Количество способов выбрать 7 цветков из 8:

  $C_8^7 = C_8^{8-7} = C_8^1 = 8$

Суммируя эти значения, получаем общее количество способов:

Общее число способов $= 8 + 56 + 56 + 8 = 128$.

Способ 2: Использование свойств биномиальных коэффициентов

Этот метод является более общим и элегантным. Сумма всех возможных сочетаний из $n$ элементов (т.е. количество всех возможных подмножеств) равна $2^n$:

$C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + C_n^3 + \dots + C_n^n = 2^n$

Также известно, что для любого $n > 0$ сумма сочетаний с нечётными нижними индексами равна сумме сочетаний с чётными нижними индексами:

$(C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + \dots) = (C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + \dots)$

Поскольку эти две суммы равны, и вместе они составляют $2^n$, то каждая из них равна половине от $2^n$:

$C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + \dots = \frac{2^n}{2} = 2^{n-1}$

В нашей задаче $n=8$. Количество способов составить букет с нечётным числом цветков — это как раз сумма $C_8^1 + C_8^3 + C_8^5 + C_8^7$. Применяя формулу, получаем:

Количество способов $= 2^{8-1} = 2^7 = 128$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 128

15.20. Комиссия, состоящая из 15 человек, может начать работу, если на заседании есть кворум, то есть присутствуют не менее 10 её членов. Сколько существует способов достичь кворума?

Задача состоит в том, чтобы найти общее количество способов, которыми может быть достигнут кворум. Комиссия состоит из 15 человек, а кворум считается достигнутым, если на заседании присутствует не менее 10 её членов. Это означает, что число присутствующих членов может быть 10, 11, 12, 13, 14 или 15. Каждый такой состав является одним из способов достичь кворума.

Поскольку порядок, в котором члены комиссии выбраны для присутствия, не имеет значения, для подсчета количества возможных составов мы используем формулу числа сочетаний из $n$ по $k$:$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Общее количество способов $N$ для достижения кворума равно сумме числа способов для каждого возможного количества присутствующих:$N = C_{15}^{10} + C_{15}^{11} + C_{15}^{12} + C_{15}^{13} + C_{15}^{14} + C_{15}^{15}$

Теперь вычислим каждое слагаемое. Для удобства можно использовать свойство симметрии сочетаний: $C_n^k = C_n^{n-k}$.
Число способов для 10 присутствующих: $C_{15}^{10} = C_{15}^{5} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 3003$
Число способов для 11 присутствующих: $C_{15}^{11} = C_{15}^{4} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 1365$
Число способов для 12 присутствующих: $C_{15}^{12} = C_{15}^{3} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 455$
Число способов для 13 присутствующих: $C_{15}^{13} = C_{15}^{2} = \frac{15 \cdot 14}{2 \cdot 1} = 105$
Число способов для 14 присутствующих: $C_{15}^{14} = C_{15}^{1} = 15$
Число способов для 15 присутствующих: $C_{15}^{15} = C_{15}^{0} = 1$

Сложим все полученные значения, чтобы найти общее количество способов:$N = 3003 + 1365 + 455 + 105 + 15 + 1 = 4944$

Ответ: 4944

15.21. Среди 20 рабочих 7 штукатуров. Сколькими способами можно составить бригаду из 5 человек так, чтобы в неё входило не менее 2 штукатуров?

Для решения задачи определим общее количество рабочих и количество штукатуров. Всего 20 рабочих, из них 7 штукатуров. Следовательно, рабочих другой специальности $20 - 7 = 13$.

Нужно составить бригаду из 5 человек, в которой будет "не менее 2 штукатуров". Это означает, что количество штукатуров в бригаде может быть 2, 3, 4 или 5. Так как порядок выбора людей в бригаду не имеет значения, будем использовать формулу сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Рассмотрим все возможные составы бригады и вычислим количество способов для каждого случая.

Случай 1: в бригаде 2 штукатура и 3 других рабочих.
Выбираем 2 штукатуров из 7 и 3 других рабочих из 13. Количество способов: $N_1 = C_7^2 \cdot C_{13}^3$.
$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21$.
$C_{13}^3 = \frac{13!}{3!(13-3)!} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 286$.
$N_1 = 21 \cdot 286 = 6006$ способов.

Случай 2: в бригаде 3 штукатура и 2 других рабочих.
Выбираем 3 штукатуров из 7 и 2 других рабочих из 13. Количество способов: $N_2 = C_7^3 \cdot C_{13}^2$.
$C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$.
$C_{13}^2 = \frac{13!}{2!(13-2)!} = \frac{13 \cdot 12}{2} = 78$.
$N_2 = 35 \cdot 78 = 2730$ способов.

Случай 3: в бригаде 4 штукатура и 1 другой рабочий.
Выбираем 4 штукатуров из 7 и 1 другого рабочего из 13. Количество способов: $N_3 = C_7^4 \cdot C_{13}^1$.
$C_7^4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$.
$C_{13}^1 = 13$.
$N_3 = 35 \cdot 13 = 455$ способов.

Случай 4: в бригаде 5 штукатуров.
Выбираем 5 штукатуров из 7. Количество способов: $N_4 = C_7^5$.
$C_7^5 = \frac{7!}{5!(7-5)!} = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21$.
$N_4 = 21$ способ.

Общее количество способов составить бригаду, удовлетворяющую условию, равно сумме способов для всех рассмотренных случаев: $N = N_1 + N_2 + N_3 + N_4 = 6006 + 2730 + 455 + 21 = 9212$.

Ответ: 9212.