Номер 15.13, страница 129 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона. Параграф 15. Сочетания (комбинации). Упражнения - номер 15.13, страница 129.

Учебник.

15.13. На плоскости задано 5 параллельных прямых. Их пересекают 7 параллельных прямых. Сколько параллелограммов при этом образовалось?

Решение.

Решение 2.

Параллелограмм образуется при пересечении двух пар параллельных прямых. Чтобы найти общее количество параллелограммов, нам нужно определить, сколькими способами можно выбрать две прямые из первого набора (5 параллельных прямых) и сколькими способами можно выбрать две прямые из второго набора (7 параллельных прямых), а затем перемножить эти результаты.

1. Вычислим количество способов выбрать 2 прямые из 5 данных параллельных прямых. Это является классической задачей на сочетания, так как порядок выбора прямых не важен. Количество сочетаний из $n$ по $k$ вычисляется по формуле:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
В нашем случае $n=5$ и $k=2$:
$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ способов.

2. Аналогично вычислим количество способов выбрать 2 прямые из 7 других параллельных прямых. Здесь $n=7$ и $k=2$:
$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ способ.

3. Согласно комбинаторному правилу произведения, общее количество параллелограммов равно произведению числа способов выбора прямых из первой группы и числа способов выбора прямых из второй группы.
Общее количество = $C_5^2 \times C_7^2 = 10 \times 21 = 210$.

Ответ: 210.