Номер 15.19, страница 129 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. § 15. Сочетания (комбинации). Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 15.19, страница 129.
№15.19 (с. 129)
Учебник. №15.19 (с. 129)
скриншот условия

15.19. Сколько существует способов из 8 разных цветков составить букет с нечётным количеством цветков?
Решение. №15.19 (с. 129)


Решение 2. №15.19 (с. 129)
Задача заключается в том, чтобы найти количество способов составить букет с нечётным количеством цветков из 8 различных цветков. Так как порядок цветков в букете не важен, мы имеем дело с сочетаниями. Нечётное количество цветков может быть 1, 3, 5 или 7. Общее число способов — это сумма числа способов составить букет из каждого из этих количеств цветков.
Формула для числа сочетаний из $n$ по $k$ (выбор $k$ элементов из $n$ без учёта порядка) выглядит так:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
Искомое количество способов равно сумме $C_8^1 + C_8^3 + C_8^5 + C_8^7$.
Способ 1: Прямое вычисление
Мы можем вычислить каждое слагаемое в сумме по отдельности.
Количество способов выбрать 1 цветок из 8:
$C_8^1 = \frac{8!}{1!(8-1)!} = \frac{8!}{1! \cdot 7!} = 8$
Количество способов выбрать 3 цветка из 8:
$C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$
Количество способов выбрать 5 цветков из 8. Используя свойство симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$, получаем:
$C_8^5 = C_8^{8-5} = C_8^3 = 56$
Количество способов выбрать 7 цветков из 8:
$C_8^7 = C_8^{8-7} = C_8^1 = 8$
Суммируя эти значения, получаем общее количество способов:
Общее число способов $= 8 + 56 + 56 + 8 = 128$.
Способ 2: Использование свойств биномиальных коэффициентов
Этот метод является более общим и элегантным. Сумма всех возможных сочетаний из $n$ элементов (т.е. количество всех возможных подмножеств) равна $2^n$:
$C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + C_n^3 + \dots + C_n^n = 2^n$
Также известно, что для любого $n > 0$ сумма сочетаний с нечётными нижними индексами равна сумме сочетаний с чётными нижними индексами:
$(C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + \dots) = (C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + \dots)$
Поскольку эти две суммы равны, и вместе они составляют $2^n$, то каждая из них равна половине от $2^n$:
$C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + \dots = \frac{2^n}{2} = 2^{n-1}$
В нашей задаче $n=8$. Количество способов составить букет с нечётным числом цветков — это как раз сумма $C_8^1 + C_8^3 + C_8^5 + C_8^7$. Применяя формулу, получаем:
Количество способов $= 2^{8-1} = 2^7 = 128$.
Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: 128
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 15.19 расположенного на странице 129 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №15.19 (с. 129), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.