Номер 15.19, страница 129 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона. Параграф 15. Сочетания (комбинации). Упражнения - номер 15.19, страница 129.

Учебник.

15.19. Сколько существует способов из 8 разных цветков составить букет с нечётным количеством цветков?

Решение.

Решение 2.

Задача заключается в том, чтобы найти количество способов составить букет с нечётным количеством цветков из 8 различных цветков. Так как порядок цветков в букете не важен, мы имеем дело с сочетаниями. Нечётное количество цветков может быть 1, 3, 5 или 7. Общее число способов — это сумма числа способов составить букет из каждого из этих количеств цветков.

Формула для числа сочетаний из $n$ по $k$ (выбор $k$ элементов из $n$ без учёта порядка) выглядит так:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Искомое количество способов равно сумме $C_8^1 + C_8^3 + C_8^5 + C_8^7$.

Способ 1: Прямое вычисление

Мы можем вычислить каждое слагаемое в сумме по отдельности.

• Количество способов выбрать 1 цветок из 8:

  $C_8^1 = \frac{8!}{1!(8-1)!} = \frac{8!}{1! \cdot 7!} = 8$

• Количество способов выбрать 3 цветка из 8:

  $C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$

• Количество способов выбрать 5 цветков из 8. Используя свойство симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$, получаем:

  $C_8^5 = C_8^{8-5} = C_8^3 = 56$

• Количество способов выбрать 7 цветков из 8:

  $C_8^7 = C_8^{8-7} = C_8^1 = 8$

Суммируя эти значения, получаем общее количество способов:

Общее число способов $= 8 + 56 + 56 + 8 = 128$.

Способ 2: Использование свойств биномиальных коэффициентов

Этот метод является более общим и элегантным. Сумма всех возможных сочетаний из $n$ элементов (т.е. количество всех возможных подмножеств) равна $2^n$:

$C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + C_n^3 + \dots + C_n^n = 2^n$

Также известно, что для любого $n > 0$ сумма сочетаний с нечётными нижними индексами равна сумме сочетаний с чётными нижними индексами:

$(C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + \dots) = (C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + \dots)$

Поскольку эти две суммы равны, и вместе они составляют $2^n$, то каждая из них равна половине от $2^n$:

$C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + \dots = \frac{2^n}{2} = 2^{n-1}$

В нашей задаче $n=8$. Количество способов составить букет с нечётным числом цветков — это как раз сумма $C_8^1 + C_8^3 + C_8^5 + C_8^7$. Применяя формулу, получаем:

Количество способов $= 2^{8-1} = 2^7 = 128$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 128