Номер 15.23, страница 130 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 15. Сочетания (комбинации). Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 15.23, страница 130.

15.23. Из 20 человек надо сформировать комиссию из 7 членов, причем Пётр Иванович и Иван Петрович не должны входить в комиссию одновременно. Сколькими способами это можно сделать?

Для решения этой задачи можно применить два различных подхода.

Способ 1: Метод исключения (от противного)

Этот подход заключается в том, чтобы найти общее число всех возможных комиссий, а затем вычесть из него число тех комиссий, которые не удовлетворяют условию задачи (т.е. в которые входят и Пётр Иванович, и Иван Петрович одновременно).

1. Сначала найдём общее число способов сформировать комиссию из 7 человек из 20 без каких-либо ограничений. Поскольку порядок выбора членов комиссии не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Общее число способов $N_{общ}$ равно числу сочетаний из 20 по 7:

$N_{общ} = C_{20}^7 = \frac{20!}{7!(20-7)!} = \frac{20!}{7!13!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Выполним вычисления, сокращая дробь:

$C_{20}^7 = \frac{(5 \cdot 4) \cdot 19 \cdot (6 \cdot 3) \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot (7 \cdot 2)}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 19 \cdot 17 \cdot \frac{16}{4 \cdot 2} \cdot \frac{15}{5} \cdot \frac{18}{6 \cdot 3} \cdot \frac{14 \cdot 20}{7 \cdot \dots}$

Проще выполнить сокращение поэтапно: $20$ сокращается с $5 \cdot 4$; $18$ сокращается с $6 \cdot 3$; $14$ сокращается с $7 \cdot 2$. После сокращения всех множителей в знаменателе, в числителе остаётся $19 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15$ делённое на оставшиеся в знаменателе множители. Давайте сделаем это аккуратнее:

$C_{20}^7 = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = (19 \cdot 17) \cdot \frac{20 \cdot 18 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = (19 \cdot 17) \cdot \frac{20}{5 \cdot 4} \cdot \frac{18}{6 \cdot 3} \cdot \frac{14}{7} \cdot \frac{16}{2} = 19 \cdot 17 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 8 = 77520$.

Таким образом, $N_{общ} = 77520$ способов.

2. Теперь найдём число "недопустимых" комиссий, в которых Пётр Иванович и Иван Петрович состоят одновременно. Если они оба уже включены в комиссию, то они занимают 2 места из 7. Нам остаётся выбрать ещё $7 - 2 = 5$ членов. Выбирать их нужно из оставшихся $20 - 2 = 18$ человек.

Число таких способов $N_{недоп}$ равно числу сочетаний из 18 по 5:

$N_{недоп} = C_{18}^5 = \frac{18!}{5!(18-5)!} = \frac{18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

$C_{18}^5 = \frac{18}{3 \cdot 2} \cdot 17 \cdot \frac{16}{4} \cdot \frac{15}{5} \cdot 14 = 3 \cdot 17 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 14 = 8568$.

Итак, существует $8568$ способов составить комиссию, где Пётр Иванович и Иван Петрович находятся вместе.

3. Искомое число способов — это разность между общим числом способов и числом недопустимых способов:

$N = N_{общ} - N_{недоп} = 77520 - 8568 = 68952$.

Ответ: 68952.

Способ 2: Прямой подсчёт (метод сложения)

Этот подход заключается в подсчёте числа способов для каждого из допустимых вариантов и их суммировании. Условию "Пётр Иванович и Иван Петрович не должны входить в комиссию одновременно" удовлетворяют три взаимоисключающих случая:

1. В комиссию входит Пётр Иванович, но не входит Иван Петрович.
2. В комиссию входит Иван Петрович, но не входит Пётр Иванович.
3. В комиссию не входят ни Пётр Иванович, ни Иван Петрович.

1. Случай 1: Пётр Иванович в комиссии, а Иван Петрович — нет.

Одно место в комиссии занято Петром Ивановичем. Ивана Петровича мы исключаем из кандидатов. Значит, нам нужно добрать $7 - 1 = 6$ членов из оставшихся $20 - 2 = 18$ человек.

$N_1 = C_{18}^6 = \frac{18!}{6!(18-6)!} = \frac{18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 18564$.

2. Случай 2: Иван Петрович в комиссии, а Пётр Иванович — нет.

Этот случай симметричен первому. Одно место занято Иваном Петровичем, а Пётр Иванович исключён. Снова нужно выбрать 6 членов из 18 человек.

$N_2 = C_{18}^6 = 18564$.

3. Случай 3: Оба не в комиссии.

Мы исключаем обоих из списка кандидатов. Всех 7 членов комиссии нужно выбрать из оставшихся $20 - 2 = 18$ человек.

$N_3 = C_{18}^7 = \frac{18!}{7!(18-7)!} = \frac{18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 31824$.

4. Общее число способов.

Суммируем число способов для всех трёх случаев, чтобы получить окончательный ответ:

$N = N_1 + N_2 + N_3 = 18564 + 18564 + 31824 = 37128 + 31824 = 68952$.

Ответ: 68952.