Номер 15.25, страница 130 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона. Параграф 15. Сочетания (комбинации). Упражнения - номер 15.25, страница 130.

Учебник.

15.25. У матери есть 9 разных конфет. Сколькими способами она может угостить своих троих детей так, чтобы каждому досталось по 3 конфеты?

Решение.

Решение 2.

Это задача по комбинаторике. Поскольку все 9 конфет различны, и все трое детей тоже различны, мы можем решить задачу, последовательно определяя, какие конфеты достанутся каждому ребенку.

1. Сначала выберем 3 конфеты для первого ребенка. Порядок, в котором мы выбираем эти 3 конфеты, не имеет значения, поэтому мы используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Число способов выбрать 3 конфеты из 9 для первого ребенка равно:

$C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$

2. После того, как мы отдали 3 конфеты первому ребенку, осталось $9 - 3 = 6$ конфет. Теперь нужно выбрать 3 конфеты для второго ребенка из оставшихся 6.

Число способов сделать это:

$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

3. Наконец, для третьего ребенка осталось $6 - 3 = 3$ конфеты. Он получает их все. Существует только один способ отдать ему эти 3 конфеты.

Число способов для этого:

$C_3^3 = \frac{3!}{3!(3-3)!} = \frac{3!}{3!0!} = 1$

4. Чтобы найти общее количество способов, нужно перемножить количество способов для каждого шага, согласно правилу произведения в комбинаторике.

Общее число способов = $C_9^3 \times C_6^3 \times C_3^3 = 84 \times 20 \times 1 = 1680$

Ответ: 1680