Номер 2, страница 133 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона. Параграф 16. Бином Ньютона. Вопросы к параграфу - номер 2, страница 133.

Учебник.

2. Что называют размещением $n$-элементного множества по $k$ элементов?

Решение 2.

Размещением из n-элементного множества по k элементов (или просто размещением из n по k) называется любое упорядоченное подмножество, состоящее из k различных элементов, взятых из исходного множества, содержащего n элементов.

Ключевыми особенностями, определяющими размещение, являются:
- Исходное множество содержит n различных элементов.
- Из этого множества выбирается ровно k элементов, причём $0 \le k \le n$.
- Порядок следования элементов в выборке имеет значение. Это означает, что наборы, отличающиеся только порядком элементов, считаются разными размещениями.

Например, если у нас есть множество M = {1, 2, 3} ($n=3$), то размещениями по 2 элемента ($k=2$) будут следующие пары:
(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2).
Как видно, пары (1, 2) и (2, 1) — это два разных размещения, так как в них разный порядок элементов.

Число всех возможных размещений из n по k (без повторений) обозначается символом $A_n^k$ (от французского "arrangement" — размещение, приведение в порядок) и вычисляется по формуле: $$ A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} $$ где $n!$ (n-факториал) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до n.

Формулу можно также представить в виде произведения: $$ A_n^k = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot (n-k+1) $$ Это можно объяснить логически: первый элемент можно выбрать n способами, второй — $(n-1)$ способами (так как один уже выбран), третий — $(n-2)$ способами и так далее, до k-го элемента, который можно выбрать $(n-k+1)$ способами.

Для приведённого выше примера с множеством {1, 2, 3}: $$ A_3^2 = \frac{3!}{(3-2)!} = \frac{3!}{1!} = \frac{6}{1} = 6 $$ Что совпадает с количеством пар, которые мы перечислили вручную.

Ответ: Размещением из n-элементного множества по k элементов называется любой упорядоченный набор из k различных элементов, выбранных из данного n-элементного множества.