Номер 16.3, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 16. Бином Ньютона. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 16.3, страница 134.

16.3. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество:

1) $(a + *)^4 = * + * + * + * + 16b^4$,

2) $(* + *)^5 = x^{10} + 10x^8 + * + * + * + *$.

1) Для решения данной задачи необходимо использовать формулу бинома Ньютона для степени $n=4$:
$(x+y)^4 = \binom{4}{0}x^4 + \binom{4}{1}x^3y + \binom{4}{2}x^2y^2 + \binom{4}{3}xy^3 + \binom{4}{4}y^4$.
Биномиальные коэффициенты для $n=4$ равны 1, 4, 6, 4, 1. Таким образом, разложение имеет вид:
$(x+y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4$.
В исходном тождестве $(a + *)^4 = * + * + * + * + 16b^4$ первый член в скобках — это $a$. Следовательно, мы можем положить $x=a$.
Последний член разложения в правой части равен $16b^4$. Сравнивая его с последним членом формулы $y^4$, получаем уравнение $y^4 = 16b^4$.
Поскольку $16b^4 = (2b)^4$, мы можем заключить, что $y=2b$. (Также возможен вариант $y=-2b$, который привел бы к чередованию знаков в разложении, но для простоты выберем положительный корень).
Теперь, зная $x=a$ и $y=2b$, мы можем найти все неизвестные члены, подставив эти значения в формулу бинома:
$(a+2b)^4 = a^4 + 4a^3(2b) + 6a^2(2b)^2 + 4a(2b)^3 + (2b)^4$
Выполним вычисления:
$= a^4 + 8a^3b + 6a^2(4b^2) + 4a(8b^3) + 16b^4$
$= a^4 + 8a^3b + 24a^2b^2 + 32ab^3 + 16b^4$.
Таким образом, мы нашли все одночлены, которыми нужно заменить звёздочки.
Ответ: Искомые одночлены: $2b$ в скобках; $a^4$, $8a^3b$, $24a^2b^2$, $32ab^3$ в правой части. Тождество выглядит следующим образом: $(a+2b)^4 = a^4 + 8a^3b + 24a^2b^2 + 32ab^3 + 16b^4$.

2) Рассмотрим тождество $(* + *)^5 = x^{10} + 10x^8 + * + * + * + *$.
Применим формулу бинома Ньютона для степени $n=5$:
$(X+Y)^5 = \binom{5}{0}X^5 + \binom{5}{1}X^4Y + \binom{5}{2}X^3Y^2 + \binom{5}{3}X^2Y^3 + \binom{5}{4}XY^4 + \binom{5}{5}Y^5$.
Биномиальные коэффициенты для $n=5$ равны 1, 5, 10, 10, 5, 1. Разложение имеет вид:
$(X+Y)^5 = X^5 + 5X^4Y + 10X^3Y^2 + 10X^2Y^3 + 5XY^4 + Y^5$.
Сравним эту общую формулу с данным в задаче выражением. Нам известны первые два члена разложения:
Первый член: $X^5 = x^{10}$.
Второй член: $5X^4Y = 10x^8$.
Из первого уравнения $X^5 = (x^2)^5$ следует, что $X = x^2$.
Теперь подставим найденное значение $X=x^2$ во второе уравнение, чтобы найти $Y$:
$5(x^2)^4Y = 10x^8$
$5x^8Y = 10x^8$
Разделив обе части на $5x^8$ (при $x \ne 0$), получаем $Y=2$.
Итак, двучлен в скобках — это $(x^2+2)$. Теперь найдем остальные члены его разложения в пятой степени, подставляя $X=x^2$ и $Y=2$ в формулу:
Третий член: $10X^3Y^2 = 10(x^2)^3(2)^2 = 10x^6 \cdot 4 = 40x^6$.
Четвертый член: $10X^2Y^3 = 10(x^2)^2(2)^3 = 10x^4 \cdot 8 = 80x^4$.
Пятый член: $5XY^4 = 5(x^2)(2)^4 = 5x^2 \cdot 16 = 80x^2$.
Шестой член: $Y^5 = 2^5 = 32$.
Таким образом, все пропущенные одночлены найдены.
Ответ: Искомые одночлены: $x^2$ и $2$ в скобках; $40x^6$, $80x^4$, $80x^2$, $32$ в правой части. Тождество выглядит следующим образом: $(x^2+2)^5 = x^{10} + 10x^8 + 40x^6 + 80x^4 + 80x^2 + 32$.