Номер 16.9, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 16. Бином Ньютона. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 16.9, страница 134.

16.9. Докажите, что:

$1 + C_{100}^1 3 + C_{100}^2 3^2 + \dots + C_{100}^{99} 3^{99} + 3^{100} = 1 - C_{200}^1 3 + C_{200}^2 3^2 - \dots - C_{200}^{199} 3^{199} + 3^{200}$

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую и правую части по отдельности, используя формулу бинома Ньютона.

Рассмотрим левую часть (ЛЧ) равенства:

$1 + C_{100}^1 \cdot 3 + C_{100}^2 \cdot 3^2 + \dots + C_{100}^{99} \cdot 3^{99} + 3^{100}$

Вспомним формулу бинома Ньютона для $(a+b)^n$:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}b^k = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \dots + C_n^n b^n$

где $C_n^k$ — биномиальные коэффициенты.

Заметим, что $C_{100}^0 = 1$ и $C_{100}^{100} = 1$. Тогда левую часть можно переписать в виде полной суммы биномиального разложения:

$C_{100}^0 \cdot 3^0 + C_{100}^1 \cdot 3^1 + C_{100}^2 \cdot 3^2 + \dots + C_{100}^{99} \cdot 3^{99} + C_{100}^{100} \cdot 3^{100}$

Это выражение в точности соответствует разложению $(1+3)^{100}$ (здесь $a=1, b=3, n=100$).

Следовательно, значение левой части равно:

$ЛЧ = (1+3)^{100} = 4^{100} = (2^2)^{100} = 2^{200}$

Теперь рассмотрим правую часть (ПЧ) равенства:

$1 - C_{200}^1 \cdot 3 + C_{200}^2 \cdot 3^2 - \dots - C_{200}^{199} \cdot 3^{199} + 3^{200}$

Эта знакочередующаяся сумма соответствует разложению бинома $(a-b)^n$:

$(a-b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}(-b)^k = C_n^0 a^n - C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 - \dots + (-1)^n C_n^n b^n$

Учитывая, что $C_{200}^0=1$ и $C_{200}^{200}=1$, правую часть можно записать как:

$C_{200}^0 \cdot 3^0 - C_{200}^1 \cdot 3^1 + C_{200}^2 \cdot 3^2 - \dots - C_{200}^{199} \cdot 3^{199} + C_{200}^{200} \cdot 3^{200}$

Это выражение является разложением $(1-3)^{200}$ (здесь $a=1, b=3, n=200$).

Следовательно, значение правой части равно:

$ПЧ = (1-3)^{200} = (-2)^{200}$

Поскольку показатель степени 200 является чётным числом, то $(-2)^{200} = 2^{200}$.

$ПЧ = 2^{200}$

Мы получили, что левая часть равна $2^{200}$ и правая часть также равна $2^{200}$. Так как $ЛЧ = ПЧ$, тождество доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.