Номер 16.14, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 16. Бином Ньютона. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 16.14, страница 134.

16.14. При каком значении $n$ восьмой член разложения выражения $(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{x^2})^n$ по формуле бинома Ньютона не зависит от $x$?

Для нахождения члена разложения бинома Ньютона $(a+b)^n$ используется формула общего члена: $$T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$$ где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент, а $k$ — номер члена, начиная с нуля.

В заданном выражении $(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{x^2})^n$ имеем:
$a = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$
$b = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$

Нас интересует восьмой член разложения. В формуле общего члена это соответствует $k+1 = 8$, следовательно, $k = 7$.

Подставим значения $a$, $b$ и $k$ в формулу общего члена: $$T_8 = T_{7+1} = C_n^7 (x^{\frac{1}{3}})^{n-7} (x^{-2})^7$$

Теперь упростим полученное выражение, применив свойство степеней $(x^m)^p = x^{m \cdot p}$ и $x^m \cdot x^p = x^{m+p}$: $$T_8 = C_n^7 x^{\frac{1}{3}(n-7)} x^{-2 \cdot 7}$$ $$T_8 = C_n^7 x^{\frac{n-7}{3}} x^{-14}$$ $$T_8 = C_n^7 x^{\frac{n-7}{3} - 14}$$

Согласно условию, восьмой член разложения не должен зависеть от $x$. Это означает, что итоговый показатель степени у переменной $x$ должен быть равен нулю. Составим и решим уравнение: $$\frac{n-7}{3} - 14 = 0$$

Решаем уравнение: $$\frac{n-7}{3} = 14$$ $$n - 7 = 14 \cdot 3$$ $$n - 7 = 42$$ $$n = 42 + 7$$ $$n = 49$$

При $n=49$ показатель степени $x$ равен $\frac{49-7}{3} - 14 = \frac{42}{3} - 14 = 14 - 14 = 0$. Так как $x^0 = 1$, член разложения $T_8 = C_{49}^7$ не зависит от $x$.

Ответ: $n = 49$.