Номер 16.12, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. § 16. Бином Ньютона. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 16.12, страница 134.
№16.12 (с. 134)
Учебник. №16.12 (с. 134)
скриншот условия

16.12. В выражении $(\sqrt{5} + \sqrt[3]{3})^{100}$ раскрыли скобки по формуле бинома Ньютона. Какое количество полученных слагаемых являются рациональными числами?
Решение. №16.12 (с. 134)


Решение 2. №16.12 (с. 134)
Для разложения выражения $(\sqrt{5} + \sqrt[3]{3})^{100}$ воспользуемся формулой бинома Ньютона: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} a^{n-k} b^k$, где $C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент.
В данном случае $a = \sqrt{5} = 5^{1/2}$, $b = \sqrt[3]{3} = 3^{1/3}$ и $n = 100$. Общий $(k+1)$-й член разложения $T_{k+1}$ (где $k$ — целое число от 0 до 100) имеет вид: $T_{k+1} = C_{100}^{k} (\sqrt{5})^{100-k} (\sqrt[3]{3})^k = C_{100}^{k} 5^{\frac{100-k}{2}} 3^{\frac{k}{3}}$
Для того чтобы слагаемое $T_{k+1}$ было рациональным числом, необходимо, чтобы степени, в которые возводятся основания 5 и 3, были целыми числами (поскольку биномиальный коэффициент $C_{100}^{k}$ всегда является целым, а значит, и рациональным числом).
Рассмотрим показатели степеней:
1. Показатель степени у числа 5: $\frac{100-k}{2}$. Это выражение будет целым, если $(100-k)$ будет делиться на 2 без остатка. Так как 100 — четное число, то и $k$ должно быть четным числом (т.е. кратным 2).
2. Показатель степени у числа 3: $\frac{k}{3}$. Это выражение будет целым, если $k$ будет делиться на 3 без остатка (т.е. кратным 3).
Таким образом, для того чтобы член разложения был рациональным, значение $k$ должно одновременно удовлетворять двум условиям: $k$ должно быть кратно 2 и $k$ должно быть кратно 3. Это эквивалентно тому, что $k$ должно быть кратно наименьшему общему кратному чисел 2 и 3, то есть НОК(2, 3) = 6.
Теперь найдем количество значений $k$ в диапазоне $0 \le k \le 100$, которые кратны 6. Такие значения $k$ можно представить в виде $k = 6m$, где $m$ — целое неотрицательное число. Подставим это выражение в неравенство для $k$: $0 \le 6m \le 100$ Разделим все части неравенства на 6: $0 \le m \le \frac{100}{6}$ $0 \le m \le 16.66...$
Поскольку $m$ должно быть целым числом, оно может принимать значения от 0 до 16 включительно: $m \in \{0, 1, 2, \dots, 16\}$. Общее количество таких значений $m$ равно $16 - 0 + 1 = 17$. Каждому из этих 17 значений $m$ соответствует уникальное значение $k$, при котором слагаемое в разложении будет рациональным.
Ответ: 17
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 16.12 расположенного на странице 134 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №16.12 (с. 134), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.