Номер 16.12, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона. Параграф 16. Бином Ньютона. Упражнения - номер 16.12, страница 134.

Учебник.

16.12. В выражении $(\sqrt{5} + \sqrt[3]{3})^{100}$ раскрыли скобки по формуле бинома Ньютона. Какое количество полученных слагаемых являются рациональными числами?

Решение.

Решение 2.

Для разложения выражения $(\sqrt{5} + \sqrt[3]{3})^{100}$ воспользуемся формулой бинома Ньютона: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} a^{n-k} b^k$, где $C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент.

В данном случае $a = \sqrt{5} = 5^{1/2}$, $b = \sqrt[3]{3} = 3^{1/3}$ и $n = 100$. Общий $(k+1)$-й член разложения $T_{k+1}$ (где $k$ — целое число от 0 до 100) имеет вид: $T_{k+1} = C_{100}^{k} (\sqrt{5})^{100-k} (\sqrt[3]{3})^k = C_{100}^{k} 5^{\frac{100-k}{2}} 3^{\frac{k}{3}}$

Для того чтобы слагаемое $T_{k+1}$ было рациональным числом, необходимо, чтобы степени, в которые возводятся основания 5 и 3, были целыми числами (поскольку биномиальный коэффициент $C_{100}^{k}$ всегда является целым, а значит, и рациональным числом).

Рассмотрим показатели степеней:
1. Показатель степени у числа 5: $\frac{100-k}{2}$. Это выражение будет целым, если $(100-k)$ будет делиться на 2 без остатка. Так как 100 — четное число, то и $k$ должно быть четным числом (т.е. кратным 2).
2. Показатель степени у числа 3: $\frac{k}{3}$. Это выражение будет целым, если $k$ будет делиться на 3 без остатка (т.е. кратным 3).

Таким образом, для того чтобы член разложения был рациональным, значение $k$ должно одновременно удовлетворять двум условиям: $k$ должно быть кратно 2 и $k$ должно быть кратно 3. Это эквивалентно тому, что $k$ должно быть кратно наименьшему общему кратному чисел 2 и 3, то есть НОК(2, 3) = 6.

Теперь найдем количество значений $k$ в диапазоне $0 \le k \le 100$, которые кратны 6. Такие значения $k$ можно представить в виде $k = 6m$, где $m$ — целое неотрицательное число. Подставим это выражение в неравенство для $k$: $0 \le 6m \le 100$ Разделим все части неравенства на 6: $0 \le m \le \frac{100}{6}$ $0 \le m \le 16.66...$

Поскольку $m$ должно быть целым числом, оно может принимать значения от 0 до 16 включительно: $m \in \{0, 1, 2, \dots, 16\}$. Общее количество таких значений $m$ равно $16 - 0 + 1 = 17$. Каждому из этих 17 значений $m$ соответствует уникальное значение $k$, при котором слагаемое в разложении будет рациональным.

Ответ: 17