Номер 16.10, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона. Параграф 16. Бином Ньютона. Упражнения - номер 16.10, страница 134.

Учебник.

16.10. Найдите отношение суммы чисел в 20-й строке треугольника Паскаля к сумме чисел в 19-й строке.

Решение.

Решение 2.

16.10.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством треугольника Паскаля, согласно которому сумма чисел в любой строке равна степени двойки.

Сумма чисел в n-й строке треугольника Паскаля (при нумерации строк, начиная с $n=0$) вычисляется по формуле:

$S_n = 2^n$

Это свойство приводит к тому, что сумма чисел в каждой следующей строке ровно в два раза больше суммы чисел в предыдущей. То есть, для соседних строк с номерами $n$ и $n-1$ справедливо:

$\frac{S_n}{S_{n-1}} = \frac{2^n}{2^{n-1}} = 2^{n-(n-1)} = 2^1 = 2$

В задаче требуется найти отношение суммы чисел в 20-й строке к сумме чисел в 19-й строке. Поскольку 20-я строка является следующей после 19-й, их суммы соотносятся как 2 к 1.

Обозначим сумму чисел в 20-й строке как $S_{20}$, а в 19-й строке как $S_{19}$. Тогда искомое отношение:

$\frac{S_{20}}{S_{19}} = 2$

Данный результат не зависит от того, начинается нумерация строк с 0 или с 1. Если нумерация начинается с 1, то сумма в k-й строке равна $2^{k-1}$. Тогда:

$S_{20} = 2^{20-1} = 2^{19}$

$S_{19} = 2^{19-1} = 2^{18}$

Их отношение также равно:

$\frac{S_{20}}{S_{19}} = \frac{2^{19}}{2^{18}} = 2$

Ответ: 2