Номер 16.17, страница 135 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона. Параграф 16. Бином Ньютона. Упражнения - номер 16.17, страница 135.

Учебник.

16.17. Найдите количество нулей в конце десятичной записи значения выражения $1001^{1000} - 1$.

Решение.

Решение 2.

Чтобы найти количество нулей в конце десятичной записи числа, необходимо определить наивысшую степень числа 10, на которую это число делится. Пусть $N = 1001^{1000} - 1$. Нам нужно найти такое максимальное целое число $k$, что $N$ делится на $10^k = 2^k \cdot 5^k$. Это число $k$ равно наименьшему из показателей степеней 2 и 5 в разложении числа $N$ на простые множители.

Представим выражение в виде $N = (1000 + 1)^{1000} - 1$. Воспользуемся формулой бинома Ньютона: $(a+b)^n = \sum_{i=0}^{n} C_n^i a^i b^{n-i} = C_n^0 b^n + C_n^1 a b^{n-1} + C_n^2 a^2 b^{n-2} + \dots + C_n^n a^n$. В нашем случае $a = 1000$, $b = 1$, $n = 1000$.

$1001^{1000} = (1000 + 1)^{1000} = C_{1000}^0 \cdot 1000^0 \cdot 1^{1000} + C_{1000}^1 \cdot 1000^1 \cdot 1^{999} + C_{1000}^2 \cdot 1000^2 \cdot 1^{998} + \dots + C_{1000}^{1000} \cdot 1000^{1000} \cdot 1^0$.

Раскрывая биномиальные коэффициенты, получаем: $1001^{1000} = 1 + C_{1000}^1 \cdot 1000 + C_{1000}^2 \cdot 1000^2 + \dots + 1000^{1000}$.

Тогда исходное выражение примет вид: $N = (1 + C_{1000}^1 \cdot 1000 + C_{1000}^2 \cdot 1000^2 + \dots + 1000^{1000}) - 1$ $N = C_{1000}^1 \cdot 1000 + C_{1000}^2 \cdot 1000^2 + C_{1000}^3 \cdot 1000^3 + \dots + 1000^{1000}$.

Мы знаем, что $C_{1000}^1 = 1000$. Подставим это в выражение: $N = 1000 \cdot 1000 + C_{1000}^2 \cdot 1000^2 + C_{1000}^3 \cdot 1000^3 + \dots + 1000^{1000}$ $N = 1000^2 + C_{1000}^2 \cdot 1000^2 + C_{1000}^3 \cdot 1000^3 + \dots + 1000^{1000}$.

Все слагаемые в этой сумме делятся на $1000^2 = (10^3)^2 = 10^6$. Вынесем $10^6$ за скобки: $N = 10^6 \left( 1 + C_{1000}^2 + C_{1000}^3 \cdot 1000 + \dots + 1000^{998} \right)$.

Рассмотрим выражение в скобках. Обозначим его $S$. $S = 1 + C_{1000}^2 + C_{1000}^3 \cdot 1000 + \dots + 1000^{998}$. Вычислим второй член: $C_{1000}^2 = \frac{1000 \cdot 999}{2} = 500 \cdot 999 = 499500$. Тогда: $S = 1 + 499500 + C_{1000}^3 \cdot 1000 + \dots$ $S = 499501 + C_{1000}^3 \cdot 1000 + \dots$ Все последующие члены в выражении для $S$ (начиная с $C_{1000}^3 \cdot 1000$) делятся на 1000, так как они содержат множитель $1000$ или его более высокие степени. Таким образом, сумма всех этих членов будет числом, оканчивающимся на три нуля. Тогда число $S$ будет иметь вид: $S = 499501 + (\text{число, оканчивающееся на 000})$. Следовательно, последняя цифра числа $S$ равна 1.

Число, оканчивающееся на 1, не делится ни на 2, ни на 5. Это означает, что в разложении числа $S$ на простые множители нет ни двоек, ни пятерок. Таким образом, количество нулей в конце числа $N = 10^6 \cdot S$ определяется исключительно множителем $10^6$. Множитель $10^6$ дает ровно 6 нулей в конце числа.

Ответ: 6