Номер 16.18, страница 135 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 16. Бином Ньютона. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 16.18, страница 135.

16.18. Найдите количество нулей в конце десятичной записи значения выражения $999^{1001} + 1$.

16.18.

Чтобы найти количество нулей в конце десятичной записи числа, необходимо определить наивысшую степень числа 10, на которую это число делится. Поскольку $10 = 2 \cdot 5$, нам нужно найти, сколько раз число $999^{1001} + 1$ делится на 10.

Представим число 999 в виде $1000 - 1$. Тогда исходное выражение примет вид:

$(1000 - 1)^{1001} + 1$

Воспользуемся формулой бинома Ньютона для разложения выражения $(a+b)^n$:

$(a+b)^n = \binom{n}{0}a^n b^0 + \binom{n}{1}a^{n-1}b^1 + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \dots + \binom{n}{n-1}a^1b^{n-1} + \binom{n}{n}a^0b^n$

Применим эту формулу для нашего случая, где $a = 1000$, $b = -1$ и $n = 1001$:

$(1000 - 1)^{1001} = \binom{1001}{0}1000^{1001}(-1)^0 + \binom{1001}{1}1000^{1000}(-1)^1 + \dots + \binom{1001}{1000}1000^1(-1)^{1000} + \binom{1001}{1001}1000^0(-1)^{1001}$

Рассмотрим последний член этого разложения:

$\binom{1001}{1001}1000^0(-1)^{1001} = 1 \cdot 1 \cdot (-1) = -1$

Теперь подставим разложение в исходное выражение:

$999^{1001} + 1 = \left( \binom{1001}{0}1000^{1001} - \binom{1001}{1}1000^{1000} + \dots + \binom{1001}{1000}1000 - 1 \right) + 1$

Упростив, получаем:

$999^{1001} + 1 = \binom{1001}{0}1000^{1001} - \binom{1001}{1}1000^{1000} + \dots + \binom{1001}{1000}1000$

Каждый член в полученной сумме является произведением, содержащим множитель 1000. Наименьшая степень 1000 в этом выражении равна 1 (в последнем члене). Вынесем $1000$ за скобки:

$1000 \cdot \left( \binom{1001}{0}1000^{1000} - \binom{1001}{1}1000^{999} + \dots + \binom{1001}{1000} \right)$

Чтобы определить общее количество нулей, нам нужно проверить, делится ли выражение в скобках на 10. Обозначим это выражение как $P$.

$P = \binom{1001}{0}1000^{1000} - \binom{1001}{1}1000^{999} + \dots + \binom{1001}{1000}$

Все члены в выражении для $P$, кроме последнего, содержат множитель 1000, а значит, делятся на 10 без остатка. Поэтому последняя цифра числа $P$ определяется последней цифрой его последнего члена. Последний член равен:

$\binom{1001}{1000} = \frac{1001!}{1000!(1001-1000)!} = \frac{1001!}{1000! \cdot 1!} = 1001$

Поскольку все члены, кроме последнего, оканчиваются на ноль, а последний член равен 1001, то число $P$ оканчивается на цифру 1. Следовательно, $P$ не делится на 10.

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде $1000 \cdot P$, где $P$ — целое число, не оканчивающееся на ноль. Число 1000 имеет три нуля в конце ($1000 = 10^3$). Это означает, что произведение $1000 \cdot P$ будет оканчиваться ровно на три нуля.

Ответ: 3