Номер 16.20, страница 135 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 16. Бином Ньютона. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 16.20, страница 135.

16.20. Вычислите суммы $A = C_{101}^1 + C_{101}^3 + C_{101}^5 + ... + C_{101}^{101}$ и $B = C_{101}^0 + C_{101}^2 + C_{101}^4 + ... + C_{101}^{100}$.

Для вычисления данных сумм воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{n-k} y^k = C_n^0 x^n y^0 + C_n^1 x^{n-1} y^1 + \dots + C_n^n x^0 y^n$

В нашем случае $n=101$. Сумма A представляет собой сумму биномиальных коэффициентов с нечетными верхними индексами, а сумма B — с четными.

$A = C_{101}^1 + C_{101}^3 + C_{101}^5 + \dots + C_{101}^{101}$

$B = C_{101}^0 + C_{101}^2 + C_{101}^4 + \dots + C_{101}^{100}$

Рассмотрим два частных случая бинома Ньютона при $n=101$.

1. Подставим $x=1$ и $y=1$:

$(1+1)^{101} = 2^{101} = \sum_{k=0}^{101} C_{101}^k = C_{101}^0 + C_{101}^1 + C_{101}^2 + \dots + C_{101}^{101}$

Сгруппировав члены по четности верхнего индекса $k$, получим сумму B (четные индексы) и сумму A (нечетные индексы):

$2^{101} = (C_{101}^0 + C_{101}^2 + \dots + C_{101}^{100}) + (C_{101}^1 + C_{101}^3 + \dots + C_{101}^{101})$

Это дает нам первое уравнение: $B + A = 2^{101}$.

2. Подставим $x=1$ и $y=-1$:

$(1-1)^{101} = 0^{101} = 0 = \sum_{k=0}^{101} C_{101}^k (1)^{101-k} (-1)^k = C_{101}^0 - C_{101}^1 + C_{101}^2 - C_{101}^3 + \dots - C_{101}^{101}$

Снова сгруппируем члены:

$0 = (C_{101}^0 + C_{101}^2 + \dots + C_{101}^{100}) - (C_{101}^1 + C_{101}^3 + \dots + C_{101}^{101})$

Это дает нам второе уравнение: $B - A = 0$.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений для нахождения A и B:

$\begin{cases} A + B = 2^{101} \\ B - A = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения следует, что $A = B$. Подставим это равенство в первое уравнение:

$A + A = 2^{101}$

$2A = 2^{101}$

$A = \frac{2^{101}}{2} = 2^{101-1} = 2^{100}$

Так как $A=B$, то и $B = 2^{100}$.

A

Сумма $A = C_{101}^1 + C_{101}^3 + C_{101}^5 + \dots + C_{101}^{101}$ является суммой биномиальных коэффициентов с нечетными верхними индексами. Как было показано выше, ее значение равно $2^{100}$.

Ответ: $A = 2^{100}$

B

Сумма $B = C_{101}^0 + C_{101}^2 + C_{101}^4 + \dots + C_{101}^{100}$ является суммой биномиальных коэффициентов с четными верхними индексами. Как было показано выше, ее значение равно $2^{100}$.

Ответ: $B = 2^{100}$