Номер 16.13, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона. Параграф 16. Бином Ньютона. Упражнения - номер 16.13, страница 134.

Учебник.

16.13. В выражении $(\sqrt[3]{5} + \sqrt[4]{2})^{800}$ раскрыли скобки по формуле бинома Ньютона. Какое количество полученных слагаемых являются рациональными числами?

Решение.

Решение 2.

Для нахождения количества рациональных слагаемых в разложении выражения $(\sqrt[3]{5} + \sqrt[4]{2})^{800}$ воспользуемся формулой бинома Ньютона: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

В нашем случае $a = \sqrt[3]{5} = 5^{1/3}$, $b = \sqrt[4]{2} = 2^{1/4}$ и $n=800$. Общий член разложения, обозначим его $T_{k+1}$, имеет вид: $T_{k+1} = \binom{800}{k} (\sqrt[3]{5})^{800-k} (\sqrt[4]{2})^k$, где $k$ — целое число от 0 до 800.

Перепишем это выражение, используя степенные обозначения: $T_{k+1} = \binom{800}{k} (5^{1/3})^{800-k} (2^{1/4})^k = \binom{800}{k} 5^{\frac{800-k}{3}} 2^{\frac{k}{4}}$

Слагаемое $T_{k+1}$ является рациональным числом, если все множители в его составе рациональны. Биномиальный коэффициент $\binom{800}{k}$ всегда является целым (а значит, и рациональным) числом. Следовательно, для того чтобы $T_{k+1}$ был рациональным, необходимо, чтобы степени чисел 5 и 2 были целыми числами. Это приводит к системе из двух условий для целочисленного индекса $k$:

1. Показатель степени у числа 5, то есть дробь $\frac{800-k}{3}$, должен быть целым числом. Это означает, что разность $(800-k)$ должна быть кратна 3.

2. Показатель степени у числа 2, то есть дробь $\frac{k}{4}$, должен быть целым числом. Это означает, что $k$ должно быть кратно 4.

Таким образом, нам нужно найти количество целых чисел $k$ в диапазоне $0 \le k \le 800$, которые одновременно удовлетворяют двум условиям: $k$ делится на 4 и $800-k$ делится на 3.

Из первого условия следует, что $k$ можно представить в виде $k = 4m$, где $m$ — целое число. Подставим это в неравенство для $k$: $0 \le 4m \le 800$ Разделив на 4, получим диапазон для $m$: $0 \le m \le 200$

Теперь рассмотрим второе условие: $800-k$ должно быть кратно 3. Запишем это в виде сравнения по модулю 3: $800 - k \equiv 0 \pmod{3}$

Поскольку $800 = 3 \cdot 266 + 2$, то $800 \equiv 2 \pmod{3}$. Подставив $k=4m$ и $800 \equiv 2 \pmod{3}$ в сравнение, получим: $2 - 4m \equiv 0 \pmod{3}$

Так как $4 \equiv 1 \pmod{3}$, сравнение упрощается: $2 - m \equiv 0 \pmod{3}$ $m \equiv 2 \pmod{3}$

Итак, задача сводится к нахождению количества целых чисел $m$, которые удовлетворяют двум условиям: $0 \le m \le 200$ и $m \equiv 2 \pmod{3}$.

Такие числа $m$ образуют арифметическую прогрессию. Найдем первое и последнее значения $m$ в заданном диапазоне. Первое неотрицательное число $m$, дающее остаток 2 при делении на 3, это $m=2$. Чтобы найти последнее значение, заметим, что $200 = 3 \cdot 66 + 2$, значит $200 \equiv 2 \pmod{3}$. Таким образом, $m=200$ является последним подходящим значением.

Значения $m$, удовлетворяющие условию, это $2, 5, 8, \dots, 200$. Это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1=2$, последним членом $a_N=200$ и разностью $d=3$. Число членов $N$ можно найти по формуле: $N = \frac{a_N - a_1}{d} + 1$. $N = \frac{200 - 2}{3} + 1 = \frac{198}{3} + 1 = 66 + 1 = 67$.

Следовательно, существует 67 значений $m$, а значит, и 67 значений $k$, при которых слагаемые в разложении бинома будут рациональными числами.

Ответ: 67