Номер 16.5, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 16. Бином Ньютона. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 16.5, страница 134.

16.5. Вычислите сумму

$3^n + C_n^1 3^{n-1} 2^1 + C_n^2 3^{n-2} 2^2 + \dots + C_n^{n-1} 3^1 2^{n-1} + 2^n$.

16.5.

Данная сумма представляет собой разложение бинома Ньютона.

Формула бинома Ньютона для натуральной степени $n$ имеет вид:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + \dots + C_n^{n-1} a^1 b^{n-1} + C_n^n a^0 b^n$

Учитывая, что по определению $C_n^0 = 1$ и $C_n^n = 1$, формулу можно записать в развернутом виде так:

$(a+b)^n = a^n + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + \dots + C_n^{n-1} a^{n-1} b^{n-1} + b^n$

Сравним эту общую формулу с выражением, данным в задаче:

$S = 3^n + C_n^1 3^{n-1} 2^1 + C_n^2 3^{n-2} 2^2 + \dots + C_n^{n-1} 3^1 2^{n-1} + 2^n$

Можно заметить, что данное выражение полностью соответствует разложению бинома Ньютона, где в качестве $a$ выступает число 3, а в качестве $b$ — число 2.

Следовательно, для вычисления суммы достаточно подставить эти значения в формулу бинома:

$S = (3+2)^n = 5^n$

Ответ: $5^n$