Номер 16.4, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. § 16. Бином Ньютона. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 16.4, страница 134.
№16.4 (с. 134)
Учебник. №16.4 (с. 134)
скриншот условия

16.4. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество:
1) $ (* - 2n)^4 = m^4 - * + * - * + *; $
2) $ (* + *)^5 = y^{15} + * + * + * + * + 32z^5. $
Решение. №16.4 (с. 134)

Решение 2. №16.4 (с. 134)
1)
Данное тождество представляет собой раскрытие двучлена (бинома) в четвертой степени. Для его решения воспользуемся формулой бинома Ньютона для случая $(a - b)^4$:
$(a - b)^4 = \binom{4}{0}a^4b^0 - \binom{4}{1}a^3b^1 + \binom{4}{2}a^2b^2 - \binom{4}{3}a^1b^3 + \binom{4}{4}a^0b^4$
Вычислив биномиальные коэффициенты, получаем:
$(a - b)^4 = 1 \cdot a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + 1 \cdot b^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$.
Теперь сравним эту общую формулу с данным выражением: $(\ast - 2n)^4 = m^4 - \ast + \ast - \ast + \ast$.
Из левой части $(\ast - 2n)^4$ видно, что второй член бинома $b = 2n$.
Из правой части видно, что первый член разложения равен $m^4$. В общей формуле первый член — это $a^4$. Следовательно, $a^4 = m^4$, откуда $a = m$.
Таким образом, первая звёздочка в скобках — это $m$. Исходное выражение в левой части: $(m - 2n)^4$.
Теперь, зная $a = m$ и $b = 2n$, найдём остальные члены разложения (звёздочки в правой части), подставляя их в общую формулу:
$(m - 2n)^4 = m^4 - 4(m^3)(2n) + 6(m^2)(2n)^2 - 4(m)(2n)^3 + (2n)^4$
Упростим каждый член:
$m^4 - 4 \cdot 2 \cdot m^3n + 6 \cdot 4 \cdot m^2n^2 - 4 \cdot 8 \cdot mn^3 + 16n^4$
$m^4 - 8m^3n + 24m^2n^2 - 32mn^3 + 16n^4$
Заменив звёздочки полученными одночленами, получаем искомое тождество.
Ответ: $(m - 2n)^4 = m^4 - 8m^3n + 24m^2n^2 - 32mn^3 + 16n^4$.
2)
Это тождество является раскрытием бинома в пятой степени. Воспользуемся формулой бинома Ньютона для случая $(a + b)^5$:
$(a + b)^5 = \binom{5}{0}a^5b^0 + \binom{5}{1}a^4b^1 + \binom{5}{2}a^3b^2 + \binom{5}{3}a^2b^3 + \binom{5}{4}a^1b^4 + \binom{5}{5}a^0b^5$
Вычислив биномиальные коэффициенты, получаем:
$(a + b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$.
Сравним эту формулу с данным выражением: $(\ast + \ast)^5 = y^{15} + \ast + \ast + \ast + \ast + 32z^5$.
Пусть искомые одночлены в скобках — это $a$ и $b$.
Первый член разложения в правой части равен $y^{15}$. В общей формуле это $a^5$. Значит, $a^5 = y^{15} = (y^3)^5$, откуда $a = y^3$.
Последний член разложения в правой части равен $32z^5$. В общей формуле это $b^5$. Значит, $b^5 = 32z^5 = 2^5z^5 = (2z)^5$, откуда $b = 2z$.
Таким образом, звёздочки в скобках — это $y^3$ и $2z$. Исходное выражение в левой части: $(y^3 + 2z)^5$.
Теперь, зная $a = y^3$ и $b = 2z$, найдём остальные члены разложения, подставляя их в общую формулу:
$(y^3 + 2z)^5 = (y^3)^5 + 5(y^3)^4(2z) + 10(y^3)^3(2z)^2 + 10(y^3)^2(2z)^3 + 5(y^3)(2z)^4 + (2z)^5$
Упростим каждый член:
$y^{15} + 5 \cdot 2 \cdot y^{12}z + 10 \cdot 4 \cdot y^9z^2 + 10 \cdot 8 \cdot y^6z^3 + 5 \cdot 16 \cdot y^3z^4 + 32z^5$
$y^{15} + 10y^{12}z + 40y^9z^2 + 80y^6z^3 + 80y^3z^4 + 32z^5$
Заменив звёздочки полученными одночленами, получаем искомое тождество.
Ответ: $(y^3 + 2z)^5 = y^{15} + 10y^{12}z + 40y^9z^2 + 80y^6z^3 + 80y^3z^4 + 32z^5$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 16.4 расположенного на странице 134 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №16.4 (с. 134), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.