Номер 16.4, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона. Параграф 16. Бином Ньютона. Упражнения - номер 16.4, страница 134.

Учебник.

16.4. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество:

1) $ (* - 2n)^4 = m^4 - * + * - * + *; $

2) $ (* + *)^5 = y^{15} + * + * + * + * + 32z^5. $

Решение.

Решение 2.

1)

Данное тождество представляет собой раскрытие двучлена (бинома) в четвертой степени. Для его решения воспользуемся формулой бинома Ньютона для случая $(a - b)^4$:

$(a - b)^4 = \binom{4}{0}a^4b^0 - \binom{4}{1}a^3b^1 + \binom{4}{2}a^2b^2 - \binom{4}{3}a^1b^3 + \binom{4}{4}a^0b^4$

Вычислив биномиальные коэффициенты, получаем:

$(a - b)^4 = 1 \cdot a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + 1 \cdot b^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$.

Теперь сравним эту общую формулу с данным выражением: $(\ast - 2n)^4 = m^4 - \ast + \ast - \ast + \ast$.

Из левой части $(\ast - 2n)^4$ видно, что второй член бинома $b = 2n$.

Из правой части видно, что первый член разложения равен $m^4$. В общей формуле первый член — это $a^4$. Следовательно, $a^4 = m^4$, откуда $a = m$.

Таким образом, первая звёздочка в скобках — это $m$. Исходное выражение в левой части: $(m - 2n)^4$.

Теперь, зная $a = m$ и $b = 2n$, найдём остальные члены разложения (звёздочки в правой части), подставляя их в общую формулу:

$(m - 2n)^4 = m^4 - 4(m^3)(2n) + 6(m^2)(2n)^2 - 4(m)(2n)^3 + (2n)^4$

Упростим каждый член:

$m^4 - 4 \cdot 2 \cdot m^3n + 6 \cdot 4 \cdot m^2n^2 - 4 \cdot 8 \cdot mn^3 + 16n^4$

$m^4 - 8m^3n + 24m^2n^2 - 32mn^3 + 16n^4$

Заменив звёздочки полученными одночленами, получаем искомое тождество.

Ответ: $(m - 2n)^4 = m^4 - 8m^3n + 24m^2n^2 - 32mn^3 + 16n^4$.

2)

Это тождество является раскрытием бинома в пятой степени. Воспользуемся формулой бинома Ньютона для случая $(a + b)^5$:

$(a + b)^5 = \binom{5}{0}a^5b^0 + \binom{5}{1}a^4b^1 + \binom{5}{2}a^3b^2 + \binom{5}{3}a^2b^3 + \binom{5}{4}a^1b^4 + \binom{5}{5}a^0b^5$

Вычислив биномиальные коэффициенты, получаем:

$(a + b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$.

Сравним эту формулу с данным выражением: $(\ast + \ast)^5 = y^{15} + \ast + \ast + \ast + \ast + 32z^5$.

Пусть искомые одночлены в скобках — это $a$ и $b$.

Первый член разложения в правой части равен $y^{15}$. В общей формуле это $a^5$. Значит, $a^5 = y^{15} = (y^3)^5$, откуда $a = y^3$.

Последний член разложения в правой части равен $32z^5$. В общей формуле это $b^5$. Значит, $b^5 = 32z^5 = 2^5z^5 = (2z)^5$, откуда $b = 2z$.

Таким образом, звёздочки в скобках — это $y^3$ и $2z$. Исходное выражение в левой части: $(y^3 + 2z)^5$.

Теперь, зная $a = y^3$ и $b = 2z$, найдём остальные члены разложения, подставляя их в общую формулу:

$(y^3 + 2z)^5 = (y^3)^5 + 5(y^3)^4(2z) + 10(y^3)^3(2z)^2 + 10(y^3)^2(2z)^3 + 5(y^3)(2z)^4 + (2z)^5$

Упростим каждый член:

$y^{15} + 5 \cdot 2 \cdot y^{12}z + 10 \cdot 4 \cdot y^9z^2 + 10 \cdot 8 \cdot y^6z^3 + 5 \cdot 16 \cdot y^3z^4 + 32z^5$

$y^{15} + 10y^{12}z + 40y^9z^2 + 80y^6z^3 + 80y^3z^4 + 32z^5$

Заменив звёздочки полученными одночленами, получаем искомое тождество.

Ответ: $(y^3 + 2z)^5 = y^{15} + 10y^{12}z + 40y^9z^2 + 80y^6z^3 + 80y^3z^4 + 32z^5$.