Номер 5, страница 133 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы к параграфу. § 16. Бином Ньютона. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 5, страница 133.

5. Сформулируйте свойства треугольника Паскаля и биномиальных коэффициентов.

Треугольник Паскаля — это геометрическое представление биномиальных коэффициентов $C_n^k = \binom{n}{k}$ в виде треугольной таблицы. Их свойства тесно взаимосвязаны и часто являются отражением друг друга.

1. Симметрия

Треугольник Паскаля симметричен относительно своей вертикальной оси. Это отражает тождество симметрии для биномиальных коэффициентов, которое гласит, что количество способов выбрать $k$ элементов из $n$ равно количеству способов выбрать $n-k$ элементов (то есть, оставить $k$ элементов). Ответ: $C_n^k = C_n^{n-k}$.

2. Граничные значения

Боковые стороны треугольника Паскаля состоят из единиц. Это соответствует тому, что существует только один способ выбрать 0 элементов (пустое множество) или все $n$ элементов из множества с $n$ элементами. Ответ: $C_n^0 = C_n^n = 1$.

3. Основное рекуррентное соотношение (Тождество Паскаля)

Каждый элемент треугольника Паскаля (кроме боковых единиц) равен сумме двух элементов, стоящих над ним в предыдущей строке. Это основное правило для построения треугольника и фундаментальное свойство биномиальных коэффициентов. Ответ: $C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^{k}$ для $1 \le k < n$.

4. Сумма элементов в строке

Сумма всех чисел в n-й строке треугольника Паскаля (нумерация строк начинается с 0) всегда равна степени двойки. Это свойство является прямым следствием формулы бинома Ньютона $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$ при подстановке $a=1$ и $b=1$. Ответ: $\sum_{k=0}^{n} C_n^k = 2^n$.

5. Знакопеременная сумма элементов в строке

Сумма элементов n-й строки с чередующимися знаками (плюс, минус, плюс, ...) равна нулю для любой строки, кроме нулевой ($n \ge 1$). Это также следует из бинома Ньютона при $a=1$ и $b=-1$. Ответ: $\sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k = 0$ для $n \ge 1$.

6. Тождество "хоккейной клюшки"

Сумма чисел, идущих подряд по диагонали треугольника Паскаля, начиная с любого бокового элемента (единицы), равна числу, расположенному в следующей строке и на следующей диагонали (визуально образуя форму хоккейной клюшки). Ответ: $\sum_{i=r}^{n} C_i^r = C_{n+1}^{r+1}$.

7. Связь с биномом Ньютона

Числа в n-й строке треугольника Паскаля являются коэффициентами в разложении двучлена (бинома) $(a+b)$ в степени $n$. Это одно из важнейших применений и свойств. Ответ: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$.