Номер 16.2, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 16. Бином Ньютона. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 16.2, страница 134.

16.2. Запишите формулу бинома Ньютона для $(a+b)^7$.

16.2. Формула бинома Ньютона для возведения двучлена $(a+b)$ в натуральную степень $n$ имеет следующий вид:
$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}b^k = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1}b^1 + \dots + C_n^n a^0 b^n$
где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — это биномиальные коэффициенты.

В данном задании необходимо записать формулу для $n=7$:
$(a+b)^7 = C_7^0 a^7 + C_7^1 a^6b + C_7^2 a^5b^2 + C_7^3 a^4b^3 + C_7^4 a^3b^4 + C_7^5 a^2b^5 + C_7^6 ab^6 + C_7^7 b^7$.

Вычислим значения биномиальных коэффициентов $C_7^k$. Их также можно найти как коэффициенты в 7-й строке треугольника Паскаля (нумерация строк начинается с 0).
$C_7^0 = \frac{7!}{0!(7-0)!} = 1$
$C_7^1 = \frac{7!}{1!(7-1)!} = 7$
$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21$
$C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$
Используя свойство симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$, получаем остальные коэффициенты:
$C_7^4 = C_7^3 = 35$
$C_7^5 = C_7^2 = 21$
$C_7^6 = C_7^1 = 7$
$C_7^7 = C_7^0 = 1$

Подставляя найденные коэффициенты в формулу разложения, получаем окончательный результат.
Ответ: $(a+b)^7 = a^7 + 7a^6b + 21a^5b^2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b^7$.