Номер 2, страница 124 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы к параграфу. § 14. Перестановки. Размещения. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 2, страница 124.

2. Что называют перестановкой конечного множества?

Перестановкой конечного множества называют любой упорядоченный набор, который состоит из всех элементов этого множества, причем каждый элемент используется ровно один раз. Основное свойство перестановки заключается в том, что порядок следования элементов в наборе имеет значение.

Рассмотрим в качестве примера конечное множество $A = \{a, b, c\}$, состоящее из трёх элементов. Возможные перестановки этого множества представляют собой все способы расставить эти элементы по порядку. Такими упорядоченными наборами (кортежами) будут:
(a, b, c)
(a, c, b)
(b, a, c)
(b, c, a)
(c, a, b)
(c, b, a)
Каждый из этих шести наборов является отдельной перестановкой множества $A$. Хотя все они содержат одни и те же элементы, они считаются различными, так как порядок элементов в них не совпадает.

Число всех возможных перестановок для множества, состоящего из $n$ различных элементов, обозначается как $P_n$ и вычисляется по формуле n-факториал. Факториал числа $n$ — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно. $$P_n = n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n$$ Для нашего примера с множеством $A = \{a, b, c\}$, где число элементов $n=3$, количество перестановок составляет: $$P_3 = 3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$$ Это число в точности равно количеству перестановок, которые мы перечислили выше.

В более строгой математической терминологии, перестановка конечного множества $S$ определяется как биективное отображение (или взаимно-однозначное соответствие) множества $S$ на само себя.

Ответ: Перестановкой конечного множества называют любой упорядоченный набор, который можно составить из всех элементов этого множества. В отличие от самого множества, для перестановки важен порядок расположения элементов. Число всех возможных перестановок для множества из $n$ элементов равно $n!$ (n-факториал).