Номер 13.13, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Готовимся к изучению новой темы. § 13. Метод математической индукции. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 13.13, страница 120.

13.13. Сколько трёхзначных чётных чисел, все цифры которых должны быть различными, можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6?

Для решения этой задачи необходимо найти количество трёхзначных чётных чисел, которые можно составить из набора цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} при условии, что все цифры в числе должны быть различными.

Трёхзначное число состоит из цифры сотен, цифры десятков и цифры единиц.

Основные условия задачи:

• Трёхзначное число: первая цифра (сотен) не может быть 0.
• Чётное число: последняя цифра (единиц) должна быть чётной. Из доступного набора это могут быть цифры {0, 2, 4, 6}.
• Различные цифры: все три цифры в числе должны быть уникальными.

Поскольку цифра 0 является чётной (может быть последней), но не может быть первой, удобно разделить решение на два случая в зависимости от последней цифры.

Случай 1: Число оканчивается на 0

В этом случае последняя цифра (цифра единиц) определена.

• Цифра единиц: Это 0. Есть только 1 вариант.
• Цифра сотен: На эту позицию можно поставить любую цифру из исходного набора, кроме 0 (который уже использован). Доступные цифры: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Всего 6 вариантов.
• Цифра десятков: На эту позицию можно поставить любую из оставшихся цифр. Две цифры (0 и цифра сотен) уже использованы. Из 7 исходных цифр осталось 5. Всего 5 вариантов.

По комбинаторному правилу произведения, количество таких чисел в первом случае равно: $6 \times 5 \times 1 = 30$.

Случай 2: Число оканчивается на 2, 4 или 6

В этом случае последняя цифра может быть одной из трёх.

• Цифра единиц: Это может быть одна из цифр {2, 4, 6}. Таким образом, есть 3 варианта.
• Цифра сотен: На эту позицию нельзя ставить 0 и нельзя ставить уже выбранную последнюю цифру. Из 7 доступных цифр мы исключаем две. Например, если последняя цифра 2, то для первой цифры остаются {1, 3, 4, 5, 6}. Всего 5 вариантов.
• Цифра десятков: На эту позицию можно поставить любую из оставшихся цифр. Две цифры (сотен и единиц) уже использованы. Из 7 исходных цифр осталось 5 (здесь 0 уже можно использовать). Всего 5 вариантов.

Количество чисел для этого случая равно произведению вариантов: $5 \times 5 \times 3 = 75$.

Общее количество чисел

Чтобы найти общее количество возможных трёхзначных чётных чисел с различными цифрами, необходимо сложить результаты, полученные в обоих случаях.

$30 + 75 = 105$.

Ответ: 105.