Номер 13.8, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 13. Метод математической индукции. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 13.8, страница 120.

13.8. Докажите неравенство $3^n > 4n + 1$, где $n \in \mathbf{N}$, $n \ge 3$.

Доказательство проведем с помощью метода математической индукции.

Пусть $P(n)$ — это утверждение, что $3^n > 4n + 1$. Нам нужно доказать, что $P(n)$ истинно для всех натуральных чисел $n \ge 3$.

База индукции

Проверим истинность утверждения для наименьшего значения $n$ из заданного диапазона, то есть для $n=3$.

Подставим $n=3$ в неравенство:

$3^3 > 4 \cdot 3 + 1$

$27 > 12 + 1$

$27 > 13$

Неравенство верно. Таким образом, база индукции установлена.

Шаг индукции

Предположим, что утверждение $P(k)$ истинно для некоторого натурального числа $k \ge 3$. Это наше индукционное предположение:

$3^k > 4k + 1$

Теперь докажем, что из этого предположения следует истинность утверждения $P(k+1)$, то есть:

$3^{k+1} > 4(k+1) + 1$

Рассмотрим левую часть неравенства для $n=k+1$ и воспользуемся индукционным предположением:

$3^{k+1} = 3 \cdot 3^k$

Поскольку $3^k > 4k + 1$, мы можем умножить обе части этого неравенства на 3 (знак неравенства не изменится):

$3 \cdot 3^k > 3 \cdot (4k + 1)$

$3^{k+1} > 12k + 3$

Наша цель — доказать, что $3^{k+1} > 4(k+1) + 1$, что эквивалентно $3^{k+1} > 4k + 5$.

Мы уже показали, что $3^{k+1} > 12k + 3$. Теперь сравним $12k+3$ с $4k+5$. Если мы докажем, что $12k+3 > 4k+5$ для $k \ge 3$, то по свойству транзитивности неравенств мы докажем и шаг индукции.

Рассмотрим неравенство:

$12k + 3 > 4k + 5$

$12k - 4k > 5 - 3$

$8k > 2$

$k > \frac{2}{8}$

$k > \frac{1}{4}$

Поскольку мы рассматриваем случай, когда $k \ge 3$, условие $k > \frac{1}{4}$ выполняется.

Таким образом, мы имеем следующую цепочку неравенств для $k \ge 3$:

$3^{k+1} > 12k + 3 > 4k + 5 = 4(k+1) + 1$

Отсюда следует, что $3^{k+1} > 4(k+1) + 1$.

Шаг индукции доказан. Поскольку база индукции и шаг индукции верны, по принципу математической индукции неравенство $3^n > 4n + 1$ справедливо для всех натуральных чисел $n \ge 3$.

Ответ: Неравенство $3^n > 4n + 1$ доказано для всех $n \in \mathbb{N}, n \ge 3$.