Номер 13.2, страница 119 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона. Параграф 13. Метод математической индукции. Упражнения - номер 13.2, страница 119.

Учебник.

13.2. Значения многочлена $f(n) = n^2 - n + 17$ при $n = 1, n = 2, ..., n = 16$ являются простыми числами. Можно ли отсюда сделать вывод, что $f(n)$ является простым числом при всех $n \in N$?

Решение.

Решение 2.

Нет, на основании того, что многочлен $f(n) = n^2 - n + 17$ дает простые числа для $n = 1, 2, ..., 16$, нельзя сделать вывод, что $f(n)$ является простым числом при всех натуральных $n \in \mathbb{N}$.

В математике утверждение, верное для некоторого количества начальных случаев, не обязательно является верным для всех случаев. Чтобы доказать, что утверждение не является верным в общем виде, достаточно найти всего один контрпример.

Давайте проверим значение многочлена для следующего натурального числа, то есть при $n=17$.

Подставим $n=17$ в формулу $f(n) = n^2 - n + 17$:$f(17) = 17^2 - 17 + 17 = 17^2 = 289$.

Число 289 не является простым, так как оно составное. Его можно представить в виде произведения $17 \times 17$. Поскольку у числа 289 есть делитель (17), отличный от 1 и самого себя, оно не является простым.

Таким образом, мы нашли контрпример ($n=17$), который показывает, что исходное предположение неверно.

Ответ: Нет, такой вывод сделать нельзя, так как, например, при $n=17$ значение многочлена $f(17) = 289 = 17^2$ является составным числом.