Номер 3, страница 119 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы к параграфу. § 13. Метод математической индукции. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 3, страница 119.

3. Из каких двух теорем состоит доказательство методом математической индукции?

Доказательство методом математической индукции, по своей сути, является применением аксиомы индукции. Оно состоит не из двух отдельных теорем, а из двух обязательных шагов (частей), которые необходимо доказать, чтобы обосновать истинность некоторого утверждения $P(n)$ для всех натуральных чисел $n$, начиная с некоторого начального значения $n_0$. Эти два шага можно условно назвать "теоремами", которые доказываются в рамках метода.

Первая часть: Базис индукции

На этом этапе доказывается, что утверждение $P(n)$ истинно для самого первого, начального значения $n=n_0$. Чаще всего в задачах $n_0=1$ или $n_0=0$. Этот шаг является фундаментом всего доказательства. Проверив истинность $P(n_0)$, мы устанавливаем отправную точку, с которой начнется "цепная реакция" доказательства.

Ответ: Первая часть — это доказательство истинности утверждения для начального значения $n_0$, то есть доказательство того, что $P(n_0)$ — истина.

Вторая часть: Индукционный переход (или индукционный шаг)

На этом этапе доказывается, что если наше утверждение верно для некоторого произвольного натурального числа $k$ (где $k \ge n_0$), то оно будет верно и для следующего за ним числа, $k+1$. Утверждение "P(k) истинно" называется индукционным предположением. Таким образом, задача этого шага — доказать импликацию (логическое следование): $P(k) \implies P(k+1)$. Этот шаг показывает, что истинность утверждения "передается" от любого числа к следующему. Совместно с базисом индукции это гарантирует, что утверждение будет истинным для всех натуральных чисел $n \ge n_0$.

Ответ: Вторая часть — это доказательство того, что из истинности утверждения для произвольного натурального числа $k \ge n_0$ (индукционное предположение) следует его истинность для следующего числа $k+1$. Формально: доказывается истинность импликации $P(k) \implies P(k+1)$.