Номер 12.4, страница 108 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 12. Вычисление объёмов тел. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 12.4, страница 108.

12.4. Докажите, что объём шара радиуса $R$ равен $\frac{4}{3}\pi R^3$.

Для доказательства формулы объема шара воспользуемся методом интегрирования, рассматривая шар как тело вращения.

Шар радиуса $R$ с центром в начале координат можно представить как тело, образованное вращением кривой, заданной функцией $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ (верхняя полуокружность), вокруг оси абсцисс (Ox) в пределах от $-R$ до $R$.

Мысленно разобьем этот шар на множество тонких цилиндрических дисков, перпендикулярных оси Ox. Толщина каждого такого диска будет бесконечно малой величиной $dx$.

Радиус основания каждого диска, расположенного в точке с абсциссой $x$, равен значению функции $y$ в этой точке, то есть $r(x) = \sqrt{R^2 - x^2}$.

Площадь основания (круга) такого диска вычисляется по формуле $S(x) = \pi [r(x)]^2$. Подставив наше выражение для радиуса, получим:

$S(x) = \pi (\sqrt{R^2 - x^2})^2 = \pi(R^2 - x^2)$

Объем элементарного диска $dV$ равен произведению площади его основания $S(x)$ на толщину $dx$:

$dV = S(x)dx = \pi(R^2 - x^2)dx$

Чтобы найти полный объем шара $V$, необходимо просуммировать объемы всех этих элементарных дисков от $x = -R$ до $x = R$. Эта операция суммирования выполняется с помощью определенного интеграла:

$V = \int_{-R}^{R} \pi(R^2 - x^2)dx$

Вынесем константу $\pi$ за знак интеграла и найдем первообразную для подынтегральной функции:

$V = \pi \int_{-R}^{R} (R^2 - x^2)dx = \pi \left[ R^2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-R}^{R}$

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница, подставив пределы интегрирования:

$V = \pi \left( \left( R^2 \cdot R - \frac{R^3}{3} \right) - \left( R^2 \cdot (-R) - \frac{(-R)^3}{3} \right) \right)$

Упростим выражение в скобках:

$V = \pi \left( \left( R^3 - \frac{R^3}{3} \right) - \left( -R^3 + \frac{R^3}{3} \right) \right)$

$V = \pi \left( \frac{2R^3}{3} - \left( -\frac{2R^3}{3} \right) \right)$

$V = \pi \left( \frac{2R^3}{3} + \frac{2R^3}{3} \right)$

$V = \pi \left( \frac{4R^3}{3} \right)$

Окончательно получаем:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Таким образом, формула доказана.

Ответ: Доказано, что объём шара радиуса $R$ равен $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.