Номер 12.3, страница 108 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 12. Вычисление объёмов тел. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 12.3, страница 108.

12.3. В шаре радиуса $R$ на расстоянии $\frac{R}{2}$ от центра шара проведена плоскость, которая разбивает шар на две части. Найдите объёмы этих частей.

Плоскость, проведенная на расстоянии $d = \frac{R}{2}$ от центра шара, делит его на две части, которые являются шаровыми сегментами. Чтобы найти их объемы, воспользуемся формулой для объема шарового сегмента.

Объем шарового сегмента вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3}\pi h^2 (3R - h)$, где $R$ — это радиус шара, а $h$ — высота сегмента.

Сначала найдем объем меньшего шарового сегмента. Его высота $h_1$ равна разности радиуса шара и расстояния от центра до секущей плоскости: $h_1 = R - d = R - \frac{R}{2} = \frac{R}{2}$

Подставим значение высоты $h_1$ в формулу объема, чтобы найти объем меньшей части $V_1$: $V_1 = \frac{1}{3}\pi (\frac{R}{2})^2 (3R - \frac{R}{2}) = \frac{1}{3}\pi \frac{R^2}{4} (\frac{6R - R}{2})$ $V_1 = \frac{\pi R^2}{12} \cdot \frac{5R}{2} = \frac{5\pi R^3}{24}$

Теперь найдем объем большей части шара ($V_2$). Его можно вычислить, отняв объем меньшей части от общего объема шара. Общий объем шара $V_{шара}$ вычисляется по формуле: $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$

Объем большей части $V_2$ равен: $V_2 = V_{шара} - V_1 = \frac{4}{3}\pi R^3 - \frac{5\pi R^3}{24}$

Приведем дроби к общему знаменателю 24: $V_2 = \frac{4 \cdot 8}{3 \cdot 8}\pi R^3 - \frac{5\pi R^3}{24} = \frac{32\pi R^3}{24} - \frac{5\pi R^3}{24} = \frac{(32-5)\pi R^3}{24} = \frac{27\pi R^3}{24}$

Сократим полученную дробь на 3: $V_2 = \frac{9\pi R^3}{8}$

Ответ: объемы частей шара равны $\frac{5\pi R^3}{24}$ и $\frac{9\pi R^3}{8}$.