Номер 11.23, страница 104 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения. § 11. Площадь криволинейной трапеции. Определённый интеграл. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 11.23, страница 104.

11.23. Решите неравенство $ \log_{\frac{1}{6}}(1-x) < \log_{\frac{1}{6}} 2. $

Для решения логарифмического неравенства $\log_{\frac{1}{6}}(1-x) < \log_{\frac{1}{6}}(2)$ необходимо сначала найти его область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным. Для выражения под знаком логарифма, содержащего переменную, должно выполняться условие:$1 - x > 0$

Решая это неравенство, переносим $x$ в правую часть:$1 > x$или$x < 1$

Таким образом, область допустимых значений для данного неравенства: $x \in (-\infty; 1)$.

Теперь перейдем к решению самого неравенства. Основание логарифма $a = \frac{1}{6}$. Так как основание удовлетворяет условию $0 < a < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{\frac{1}{6}}(t)$ является убывающей. Это означает, что при переходе от неравенства логарифмов к неравенству их аргументов знак неравенства необходимо изменить на противоположный:$1 - x > 2$

Решим полученное линейное неравенство:$-x > 2 - 1$$-x > 1$

Умножим обе части неравенства на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:$x < -1$

Итоговое решение должно удовлетворять одновременно двум условиям: входить в ОДЗ ($x < 1$) и быть решением самого неравенства ($x < -1$). Запишем это в виде системы:$\begin{cases} x < 1 \\ x < -1 \end{cases}$

Пересечением этих двух условий является множество $x < -1$. Если число меньше $-1$, оно автоматически будет меньше $1$.

Ответ: $(-\infty; -1)$