Номер 11.21, страница 103 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 11. Площадь криволинейной трапеции. Определённый интеграл. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 11.21, страница 103.

11.21. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = x^2 - 3x - 4, y = 0, x = 0, x = 3$;

2) $y = -x^2, y = x - 2$;

3) $y = x^2 - 4, y = 4 - x^2$;

4) $y = x^2 - 2x, y = x$;

5) $y = 3\sin x, y = -2\sin x, x = 0, x = \frac{2\pi}{3}$;

6) $y = \frac{4}{x} - 2, y = 2, x = 2, x = 4$.

1) Фигура ограничена линиями $y = x^2 - 3x - 4$, $y=0$, $x=0$, $x=3$.

Для нахождения площади необходимо вычислить определенный интеграл. Пределы интегрирования по оси Ox заданы: от $a=0$ до $b=3$.

Найдем, какая из функций больше на интервале $[0, 3]$. Для этого определим знак функции $f(x) = x^2 - 3x - 4$ на этом интервале. Корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$. Парабола направлена ветвями вверх, следовательно, на интервале $(-1, 4)$ функция принимает отрицательные значения. Так как $[0, 3] \subset (-1, 4)$, то на интервале $[0, 3]$ имеем $x^2 - 3x - 4 \le 0$.

Таким образом, верхняя граница фигуры — это линия $y=0$, а нижняя — $y = x^2 - 3x - 4$.

Площадь фигуры вычисляется по формуле:

$S = \int_{0}^{3} (0 - (x^2 - 3x - 4)) dx = \int_{0}^{3} (-x^2 + 3x + 4) dx$.

Вычисляем интеграл, находя первообразную и применяя формулу Ньютона-Лейбница:

$S = [-\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 4x]_{0}^{3} = (-\frac{3^3}{3} + \frac{3 \cdot 3^2}{2} + 4 \cdot 3) - (0) = -9 + \frac{27}{2} + 12 = 3 + 13.5 = 16.5$.

Ответ: $16.5$.

2) Фигура ограничена линиями $y = -x^2$ и $y = x - 2$.

Сначала найдем пределы интегрирования, решив уравнение для точек пересечения графиков:

$-x^2 = x - 2$

$x^2 + x - 2 = 0$

Корни этого уравнения (по теореме Виета или через дискриминант): $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$. Это и будут наши пределы интегрирования: $a=-2, b=1$.

Определим, какая функция больше на интервале $[-2, 1]$. Возьмем пробную точку, например $x=0$, из этого интервала:

При $x=0$, $y = -x^2 = 0$.

При $x=0$, $y = x - 2 = -2$.

Поскольку $0 > -2$, на интервале $[-2, 1]$ график функции $y = -x^2$ находится выше графика $y = x - 2$.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{-2}^{1} ((-x^2) - (x - 2)) dx = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) dx$.

Вычисляем интеграл:

$S = [-\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x]_{-2}^{1} = (-\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2 \cdot 1) - (-\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2(-2))$

$= (-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2) - (\frac{8}{3} - 2 - 4) = (-\frac{2}{6} - \frac{3}{6} + \frac{12}{6}) - (\frac{8}{3} - 6) = \frac{7}{6} - (\frac{8-18}{3}) = \frac{7}{6} - (-\frac{10}{3}) = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5$.

Ответ: $4.5$.

3) Фигура ограничена параболами $y = x^2 - 4$ и $y = 4 - x^2$.

Найдем пределы интегрирования, определив точки пересечения кривых:

$x^2 - 4 = 4 - x^2$

$2x^2 = 8$

$x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.

Пределы интегрирования: $a=-2, b=2$.

Определим, какая из функций является верхней. Возьмем точку $x=0$ из интервала $[-2, 2]$:

При $x=0$, $y = x^2-4 = -4$.

При $x=0$, $y = 4-x^2 = 4$.

Так как $4 > -4$, функция $y = 4 - x^2$ является верхней.

Площадь фигуры:

$S = \int_{-2}^{2} ((4 - x^2) - (x^2 - 4)) dx = \int_{-2}^{2} (8 - 2x^2) dx$.

Подынтегральная функция $f(x) = 8 - 2x^2$ является четной, а пределы интегрирования симметричны относительно нуля, поэтому можно упростить вычисление:

$S = 2 \int_{0}^{2} (8 - 2x^2) dx = 2 [8x - \frac{2x^3}{3}]_{0}^{2} = 2 ((8 \cdot 2 - \frac{2 \cdot 2^3}{3}) - 0) = 2 (16 - \frac{16}{3}) = 2 (\frac{48-16}{3}) = 2 \cdot \frac{32}{3} = \frac{64}{3}$.

Ответ: $\frac{64}{3}$.

4) Фигура ограничена линиями $y = x^2 - 2x$ и $y = x$.

Найдем пределы интегрирования из точек пересечения:

$x^2 - 2x = x$

$x^2 - 3x = 0$

$x(x - 3) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = 3$.

Пределы интегрирования: $a=0, b=3$.

Определим, какая функция больше на интервале $[0, 3]$. Возьмем пробную точку $x=1$:

При $x=1$, $y = x^2 - 2x = 1 - 2 = -1$.

При $x=1$, $y = x = 1$.

Так как $1 > -1$, функция $y = x$ является верхней.

Площадь фигуры:

$S = \int_{0}^{3} (x - (x^2 - 2x)) dx = \int_{0}^{3} (3x - x^2) dx$.

Вычисляем интеграл:

$S = [\frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{0}^{3} = (\frac{3 \cdot 3^2}{2} - \frac{3^3}{3}) - 0 = \frac{27}{2} - 9 = \frac{27 - 18}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$.

Ответ: $4.5$.

5) Фигура ограничена линиями $y = 3\sin x$, $y = -2\sin x$, $x=0$, $x = \frac{2\pi}{3}$.

Пределы интегрирования заданы: от $a=0$ до $b=\frac{2\pi}{3}$.

На интервале $[0, \pi]$, и, следовательно, на интервале $[0, \frac{2\pi}{3}]$, функция $\sin x$ неотрицательна ($\sin x \ge 0$).

Следовательно, $3\sin x \ge 0$ и $-2\sin x \le 0$. Это означает, что $3\sin x \ge -2\sin x$ на данном интервале.

Верхняя функция — $y = 3\sin x$, нижняя — $y = -2\sin x$.

Площадь фигуры:

$S = \int_{0}^{2\pi/3} (3\sin x - (-2\sin x)) dx = \int_{0}^{2\pi/3} 5\sin x dx$.

Вычисляем интеграл:

$S = [-5\cos x]_{0}^{2\pi/3} = (-5\cos(\frac{2\pi}{3})) - (-5\cos(0))$.

Зная, что $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -1/2$ и $\cos(0) = 1$, получаем:

$S = (-5 \cdot (-\frac{1}{2})) - (-5 \cdot 1) = \frac{5}{2} + 5 = 2.5 + 5 = 7.5$.

Ответ: $7.5$.

6) Фигура ограничена линиями $y = \frac{4}{x} - 2$, $y = 2$, $x = 2$, $x = 4$.

Пределы интегрирования по оси Ox заданы: от $a=2$ до $b=4$.

Определим, какая функция является верхней на интервале $[2, 4]$. Сравним значения функций $y_1 = \frac{4}{x} - 2$ и $y_2 = 2$.

На интервале $[2, 4]$, $x > 0$. При $x=2$, $y_1=0$. При $x=4$, $y_1=-1$. Так как функция $y_1$ на этом отрезке возрастает от $-1$ до $0$, то $y_1(x) \le 0$. Функция $y_2=2$ всегда больше $y_1$.

Таким образом, $y=2$ является верхней функцией.

Площадь фигуры:

$S = \int_{2}^{4} (2 - (\frac{4}{x} - 2)) dx = \int_{2}^{4} (4 - \frac{4}{x}) dx$.

Вычисляем интеграл:

$S = [4x - 4\ln|x|]_{2}^{4} = (4 \cdot 4 - 4\ln 4) - (4 \cdot 2 - 4\ln 2) = 16 - 4\ln 4 - 8 + 4\ln 2$.

Упростим выражение, используя свойство логарифма $\ln(a^b) = b\ln a$:

$S = 8 - 4\ln(2^2) + 4\ln 2 = 8 - 4(2\ln 2) + 4\ln 2 = 8 - 8\ln 2 + 4\ln 2 = 8 - 4\ln 2$.

Ответ: $8 - 4\ln 2$.