Номер 12.1, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2016

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2016 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: синий, зелёный

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика. Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 11 классе

Упражнения. § 12. Вычисление объёмов тел. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 12.1, страница 107.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№12.1 (с. 107)
Учебник. №12.1 (с. 107)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2016, страница 107, номер 12.1, Учебник

12.1. Найдите объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс

фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = 2x + 1, x = 1, x = 0, y = 0;$

2) $y = x^2 + 1, x = 1, x = 2, y = 0;$

3) $y = \sqrt{x}, x = 1, x = 4, y = 0;$

4) $y = x^2, y = x;$

5) $y = \frac{1}{x}, y = 0, x = \frac{1}{2}, x = 2, y = x.$

Решение. №12.1 (с. 107)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2016, страница 107, номер 12.1, Решение
Решение 2. №12.1 (с. 107)

Для нахождения объёма тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиком функции $y = f(x)$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, используется формула:

$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$

Если фигура ограничена двумя кривыми $y_1(x)$ и $y_2(x)$, где $y_1(x) \ge y_2(x) \ge 0$ на отрезке $[a, b]$, то объём тела вращения находится по формуле:

$V = \pi \int_a^b ([y_1(x)]^2 - [y_2(x)]^2) dx$

1) $y = 2x + 1, x = 1, x = 0, y = 0$

Фигура ограничена графиком функции $y = 2x + 1$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=0$ и $x=1$. Пределы интегрирования $a=0$, $b=1$. Применяем основную формулу:

$V = \pi \int_0^1 (2x + 1)^2 dx = \pi \int_0^1 (4x^2 + 4x + 1) dx$

Находим первообразную и вычисляем определённый интеграл:

$V = \pi \left[ \frac{4x^3}{3} + \frac{4x^2}{2} + x \right]_0^1 = \pi \left[ \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x \right]_0^1$

$V = \pi \left( \left(\frac{4}{3}(1)^3 + 2(1)^2 + 1\right) - \left(\frac{4}{3}(0)^3 + 2(0)^2 + 0\right) \right)$

$V = \pi \left( \frac{4}{3} + 2 + 1 \right) = \pi \left( \frac{4}{3} + 3 \right) = \pi \left( \frac{4+9}{3} \right) = \frac{13\pi}{3}$

Ответ: $V = \frac{13\pi}{3}$.

2) $y = x^2 + 1, x = 1, x = 2, y = 0$

Фигура ограничена параболой $y = x^2 + 1$, осью абсцисс и прямыми $x=1$ и $x=2$. Пределы интегрирования $a=1$, $b=2$.

$V = \pi \int_1^2 (x^2 + 1)^2 dx = \pi \int_1^2 (x^4 + 2x^2 + 1) dx$

Вычисляем интеграл:

$V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} + x \right]_1^2$

$V = \pi \left( \left(\frac{2^5}{5} + \frac{2 \cdot 2^3}{3} + 2\right) - \left(\frac{1^5}{5} + \frac{2 \cdot 1^3}{3} + 1\right) \right)$

$V = \pi \left( \left(\frac{32}{5} + \frac{16}{3} + 2\right) - \left(\frac{1}{5} + \frac{2}{3} + 1\right) \right)$

$V = \pi \left( \frac{31}{5} + \frac{14}{3} + 1 \right) = \pi \left( \frac{93 + 70 + 15}{15} \right) = \frac{178\pi}{15}$

Ответ: $V = \frac{178\pi}{15}$.

3) $y = \sqrt{x}, x = 1, x = 4, y = 0$

Фигура ограничена графиком функции $y = \sqrt{x}$, осью абсцисс и прямыми $x=1$ и $x=4$. Пределы интегрирования $a=1$, $b=4$.

$V = \pi \int_1^4 (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_1^4 x dx$

Вычисляем интеграл:

$V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^4 = \pi \left( \frac{4^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right) = \pi \left( \frac{16}{2} - \frac{1}{2} \right) = \frac{15\pi}{2}$

Ответ: $V = \frac{15\pi}{2}$.

4) $y = x^2, y = x$

Фигура ограничена параболой $y = x^2$ и прямой $y = x$. Сначала найдем пределы интегрирования, определив точки пересечения кривых:

$x^2 = x \Rightarrow x^2 - x = 0 \Rightarrow x(x-1) = 0$

Точки пересечения при $x=0$ и $x=1$. Это наши пределы интегрирования $a=0$, $b=1$. На интервале $(0, 1)$ прямая $y=x$ лежит выше параболы $y=x^2$, то есть $x > x^2$. Используем формулу для объёма тела, заключенного между двумя кривыми:

$V = \pi \int_0^1 (x^2 - (x^2)^2) dx = \pi \int_0^1 (x^2 - x^4) dx$

Вычисляем интеграл:

$V = \pi \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \pi \left( \left(\frac{1^3}{3} - \frac{1^5}{5}\right) - (0) \right) = \pi \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) = \pi \left( \frac{5-3}{15} \right) = \frac{2\pi}{15}$

Ответ: $V = \frac{2\pi}{15}$.

5) $y = \frac{1}{x}, y = 0, x = \frac{1}{2}, x = 2, y = x$

Фигура ограничена снизу осью абсцисс $y=0$, слева прямой $x=1/2$, справа прямой $x=2$. Верхняя граница фигуры формируется линиями $y=1/x$ и $y=x$. Найдем точку их пересечения:

$\frac{1}{x} = x \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x=1$ (так как область определения $x>0$).

На отрезке $[1/2, 1]$ выполняется неравенство $x \le 1/x$, поэтому верхняя граница фигуры описывается функцией $y=x$.

На отрезке $[1, 2]$ выполняется неравенство $1/x \le x$, поэтому верхняя граница фигуры описывается функцией $y=1/x$.

Таким образом, фигура вращения состоит из двух частей, и её объём равен сумме объёмов:

$V = \pi \int_{1/2}^1 x^2 dx + \pi \int_1^2 \left(\frac{1}{x}\right)^2 dx$

Вычисляем первый интеграл:

$V_1 = \pi \int_{1/2}^1 x^2 dx = \pi \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1/2}^1 = \pi \left( \frac{1^3}{3} - \frac{(1/2)^3}{3} \right) = \pi \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{24} \right) = \pi \left( \frac{8-1}{24} \right) = \frac{7\pi}{24}$

Вычисляем второй интеграл:

$V_2 = \pi \int_1^2 \frac{1}{x^2} dx = \pi \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^2 = \pi \left( \left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) \right) = \pi \left( 1 - \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{2}$

Общий объём:

$V = V_1 + V_2 = \frac{7\pi}{24} + \frac{\pi}{2} = \frac{7\pi}{24} + \frac{12\pi}{24} = \frac{19\pi}{24}$

Ответ: $V = \frac{19\pi}{24}$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 12.1 расположенного на странице 107 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №12.1 (с. 107), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться