Номер 12.1, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. § 12. Вычисление объёмов тел. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 12.1, страница 107.
№12.1 (с. 107)
Учебник. №12.1 (с. 107)
скриншот условия

12.1. Найдите объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс
фигуры, ограниченной линиями:
1) $y = 2x + 1, x = 1, x = 0, y = 0;$
2) $y = x^2 + 1, x = 1, x = 2, y = 0;$
3) $y = \sqrt{x}, x = 1, x = 4, y = 0;$
4) $y = x^2, y = x;$
5) $y = \frac{1}{x}, y = 0, x = \frac{1}{2}, x = 2, y = x.$
Решение. №12.1 (с. 107)

Решение 2. №12.1 (с. 107)
Для нахождения объёма тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиком функции $y = f(x)$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, используется формула:
$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$
Если фигура ограничена двумя кривыми $y_1(x)$ и $y_2(x)$, где $y_1(x) \ge y_2(x) \ge 0$ на отрезке $[a, b]$, то объём тела вращения находится по формуле:
$V = \pi \int_a^b ([y_1(x)]^2 - [y_2(x)]^2) dx$
1) $y = 2x + 1, x = 1, x = 0, y = 0$
Фигура ограничена графиком функции $y = 2x + 1$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=0$ и $x=1$. Пределы интегрирования $a=0$, $b=1$. Применяем основную формулу:
$V = \pi \int_0^1 (2x + 1)^2 dx = \pi \int_0^1 (4x^2 + 4x + 1) dx$
Находим первообразную и вычисляем определённый интеграл:
$V = \pi \left[ \frac{4x^3}{3} + \frac{4x^2}{2} + x \right]_0^1 = \pi \left[ \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x \right]_0^1$
$V = \pi \left( \left(\frac{4}{3}(1)^3 + 2(1)^2 + 1\right) - \left(\frac{4}{3}(0)^3 + 2(0)^2 + 0\right) \right)$
$V = \pi \left( \frac{4}{3} + 2 + 1 \right) = \pi \left( \frac{4}{3} + 3 \right) = \pi \left( \frac{4+9}{3} \right) = \frac{13\pi}{3}$
Ответ: $V = \frac{13\pi}{3}$.
2) $y = x^2 + 1, x = 1, x = 2, y = 0$
Фигура ограничена параболой $y = x^2 + 1$, осью абсцисс и прямыми $x=1$ и $x=2$. Пределы интегрирования $a=1$, $b=2$.
$V = \pi \int_1^2 (x^2 + 1)^2 dx = \pi \int_1^2 (x^4 + 2x^2 + 1) dx$
Вычисляем интеграл:
$V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} + x \right]_1^2$
$V = \pi \left( \left(\frac{2^5}{5} + \frac{2 \cdot 2^3}{3} + 2\right) - \left(\frac{1^5}{5} + \frac{2 \cdot 1^3}{3} + 1\right) \right)$
$V = \pi \left( \left(\frac{32}{5} + \frac{16}{3} + 2\right) - \left(\frac{1}{5} + \frac{2}{3} + 1\right) \right)$
$V = \pi \left( \frac{31}{5} + \frac{14}{3} + 1 \right) = \pi \left( \frac{93 + 70 + 15}{15} \right) = \frac{178\pi}{15}$
Ответ: $V = \frac{178\pi}{15}$.
3) $y = \sqrt{x}, x = 1, x = 4, y = 0$
Фигура ограничена графиком функции $y = \sqrt{x}$, осью абсцисс и прямыми $x=1$ и $x=4$. Пределы интегрирования $a=1$, $b=4$.
$V = \pi \int_1^4 (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_1^4 x dx$
Вычисляем интеграл:
$V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^4 = \pi \left( \frac{4^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right) = \pi \left( \frac{16}{2} - \frac{1}{2} \right) = \frac{15\pi}{2}$
Ответ: $V = \frac{15\pi}{2}$.
4) $y = x^2, y = x$
Фигура ограничена параболой $y = x^2$ и прямой $y = x$. Сначала найдем пределы интегрирования, определив точки пересечения кривых:
$x^2 = x \Rightarrow x^2 - x = 0 \Rightarrow x(x-1) = 0$
Точки пересечения при $x=0$ и $x=1$. Это наши пределы интегрирования $a=0$, $b=1$. На интервале $(0, 1)$ прямая $y=x$ лежит выше параболы $y=x^2$, то есть $x > x^2$. Используем формулу для объёма тела, заключенного между двумя кривыми:
$V = \pi \int_0^1 (x^2 - (x^2)^2) dx = \pi \int_0^1 (x^2 - x^4) dx$
Вычисляем интеграл:
$V = \pi \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \pi \left( \left(\frac{1^3}{3} - \frac{1^5}{5}\right) - (0) \right) = \pi \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) = \pi \left( \frac{5-3}{15} \right) = \frac{2\pi}{15}$
Ответ: $V = \frac{2\pi}{15}$.
5) $y = \frac{1}{x}, y = 0, x = \frac{1}{2}, x = 2, y = x$
Фигура ограничена снизу осью абсцисс $y=0$, слева прямой $x=1/2$, справа прямой $x=2$. Верхняя граница фигуры формируется линиями $y=1/x$ и $y=x$. Найдем точку их пересечения:
$\frac{1}{x} = x \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x=1$ (так как область определения $x>0$).
На отрезке $[1/2, 1]$ выполняется неравенство $x \le 1/x$, поэтому верхняя граница фигуры описывается функцией $y=x$.
На отрезке $[1, 2]$ выполняется неравенство $1/x \le x$, поэтому верхняя граница фигуры описывается функцией $y=1/x$.
Таким образом, фигура вращения состоит из двух частей, и её объём равен сумме объёмов:
$V = \pi \int_{1/2}^1 x^2 dx + \pi \int_1^2 \left(\frac{1}{x}\right)^2 dx$
Вычисляем первый интеграл:
$V_1 = \pi \int_{1/2}^1 x^2 dx = \pi \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1/2}^1 = \pi \left( \frac{1^3}{3} - \frac{(1/2)^3}{3} \right) = \pi \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{24} \right) = \pi \left( \frac{8-1}{24} \right) = \frac{7\pi}{24}$
Вычисляем второй интеграл:
$V_2 = \pi \int_1^2 \frac{1}{x^2} dx = \pi \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^2 = \pi \left( \left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) \right) = \pi \left( 1 - \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{2}$
Общий объём:
$V = V_1 + V_2 = \frac{7\pi}{24} + \frac{\pi}{2} = \frac{7\pi}{24} + \frac{12\pi}{24} = \frac{19\pi}{24}$
Ответ: $V = \frac{19\pi}{24}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 12.1 расположенного на странице 107 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №12.1 (с. 107), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.