Страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Опишите, как с помощью интеграла можно вычислить объём пирамиды.

1. Для вычисления объёма пирамиды с помощью интеграла используется метод поперечных сечений. Общий принцип заключается в том, чтобы "нарезать" тело на бесконечно тонкие слои, найти объём каждого такого слоя и затем просуммировать эти объёмы с помощью определённого интеграла.

Рассмотрим произвольную пирамиду с высотой $H$ и площадью основания $S_{осн}$. Расположим пирамиду так, чтобы её вершина находилась в начале координат $(0,0,0)$, а высота лежала на оси $Ox$. Тогда основание пирамиды будет лежать в плоскости $x = H$.

Рассечём пирамиду плоскостью, перпендикулярной оси $Ox$, на произвольном расстоянии $x$ от вершины (где $0 \le x \le H$). В сечении получится многоугольник, подобный основанию пирамиды. Обозначим площадь этого сечения как $S(x)$.

Из подобия следует, что отношение линейных размеров сечения к линейным размерам основания равно отношению их расстояний от вершины, то есть $x/H$. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Следовательно:

$\frac{S(x)}{S_{осн}} = \left(\frac{x}{H}\right)^2$

Отсюда мы можем выразить площадь сечения $S(x)$ как функцию от $x$:

$S(x) = S_{осн} \cdot \frac{x^2}{H^2}$

Теперь объём пирамиды можно найти как интеграл от площади сечения $S(x)$ по переменной $x$ в пределах от $0$ до $H$:

$V = \int_{0}^{H} S(x) dx$

Подставим выражение для $S(x)$ в интеграл:

$V = \int_{0}^{H} S_{осн} \frac{x^2}{H^2} dx$

Поскольку $S_{осн}$ и $H$ — постоянные величины, их можно вынести за знак интеграла:

$V = \frac{S_{осн}}{H^2} \int_{0}^{H} x^2 dx$

Вычислим полученный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$V = \frac{S_{осн}}{H^2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{H} = \frac{S_{осн}}{H^2} \left( \frac{H^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = \frac{S_{осн}}{H^2} \cdot \frac{H^3}{3} = \frac{1}{3} S_{осн} H$

Таким образом, мы получили известную из школьного курса геометрии формулу для объёма пирамиды. Процесс заключается в том, чтобы выразить площадь поперечного сечения как функцию от высоты и проинтегрировать эту функцию по всей высоте пирамиды.

Ответ: Объём пирамиды вычисляется путем интегрирования функции площади её поперечного сечения $S(x)$ по высоте от $0$ до $H$. Функция площади сечения на расстоянии $x$ от вершины имеет вид $S(x) = S_{осн} \cdot (x/H)^2$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота. Интеграл $V = \int_{0}^{H} S_{осн} \frac{x^2}{H^2} dx$ даёт итоговую формулу $V = \frac{1}{3} S_{осн} H$.

2. Опишите, как с помощью интеграла можно вычислить объём тела вращения.

Объем тела вращения вычисляется с помощью определенного интеграла по методу дисков (или методу шайб/колец). Суть метода заключается в том, что тело вращения мысленно разрезается на бесконечно тонкие слои (диски или кольца), перпендикулярные оси вращения. Объем каждого такого слоя вычисляется как объем цилиндра ($dV = S \cdot h$), где $S$ — площадь основания (круга или кольца), а $h$ — его бесконечно малая высота ($dx$ или $dy$). Затем объемы всех слоев суммируются с помощью интегрирования по соответствующей переменной.

Вращение вокруг оси Ox

Если тело образовано вращением вокруг оси абсцисс (Ox) криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной неотрицательной функции $y = f(x)$, осью Ox и прямыми $x=a$ и $x=b$, то объем такого тела вычисляется следующим образом. В поперечном сечении тела в точке $x$ будет круг радиусом $r = f(x)$. Площадь этого круга $S(x) = \pi r^2 = \pi [f(x)]^2$. Объем тела находится как интеграл от площади поперечного сечения по отрезку $[a, b]$.

Ответ: $V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

Вращение вокруг оси Oy

Если тело образовано вращением вокруг оси ординат (Oy) плоской фигуры, ограниченной графиком непрерывной неотрицательной функции $x = g(y)$, осью Oy и прямыми $y=c$ и $y=d$, то объем вычисляется аналогично. В поперечном сечении на высоте $y$ будет круг радиусом $r = g(y)$. Его площадь $S(y) = \pi r^2 = \pi [g(y)]^2$. Объем тела находится как интеграл от этой площади по отрезку $[c, d]$.

Ответ: $V = \pi \int_{c}^{d} [g(y)]^2 dy$

Вращение фигуры, ограниченной двумя кривыми (метод шайб)

Если тело образовано вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной графиками двух непрерывных функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ (при условии, что $f(x) \geq g(x) \geq 0$ на отрезке $[a, b]$) и прямыми $x=a$ и $x=b$, то в поперечном сечении образуется кольцо (шайба). Внешний радиус кольца равен $R = f(x)$, а внутренний — $r = g(x)$. Площадь такого кольца равна разности площадей внешнего и внутреннего кругов: $S(x) = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi ([f(x)]^2 - [g(x)]^2)$. Объем тела находится интегрированием этой площади.

Ответ: $V = \pi \int_{a}^{b} ([f(x)]^2 - [g(x)]^2) dx$

12.1. Найдите объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс

фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = 2x + 1, x = 1, x = 0, y = 0;$

2) $y = x^2 + 1, x = 1, x = 2, y = 0;$

3) $y = \sqrt{x}, x = 1, x = 4, y = 0;$

4) $y = x^2, y = x;$

5) $y = \frac{1}{x}, y = 0, x = \frac{1}{2}, x = 2, y = x.$

Для нахождения объёма тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиком функции $y = f(x)$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, используется формула:

$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$

Если фигура ограничена двумя кривыми $y_1(x)$ и $y_2(x)$, где $y_1(x) \ge y_2(x) \ge 0$ на отрезке $[a, b]$, то объём тела вращения находится по формуле:

$V = \pi \int_a^b ([y_1(x)]^2 - [y_2(x)]^2) dx$

1) $y = 2x + 1, x = 1, x = 0, y = 0$

Фигура ограничена графиком функции $y = 2x + 1$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=0$ и $x=1$. Пределы интегрирования $a=0$, $b=1$. Применяем основную формулу:

$V = \pi \int_0^1 (2x + 1)^2 dx = \pi \int_0^1 (4x^2 + 4x + 1) dx$

Находим первообразную и вычисляем определённый интеграл:

$V = \pi \left[ \frac{4x^3}{3} + \frac{4x^2}{2} + x \right]_0^1 = \pi \left[ \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x \right]_0^1$

$V = \pi \left( \left(\frac{4}{3}(1)^3 + 2(1)^2 + 1\right) - \left(\frac{4}{3}(0)^3 + 2(0)^2 + 0\right) \right)$

$V = \pi \left( \frac{4}{3} + 2 + 1 \right) = \pi \left( \frac{4}{3} + 3 \right) = \pi \left( \frac{4+9}{3} \right) = \frac{13\pi}{3}$

Ответ: $V = \frac{13\pi}{3}$.

2) $y = x^2 + 1, x = 1, x = 2, y = 0$

Фигура ограничена параболой $y = x^2 + 1$, осью абсцисс и прямыми $x=1$ и $x=2$. Пределы интегрирования $a=1$, $b=2$.

$V = \pi \int_1^2 (x^2 + 1)^2 dx = \pi \int_1^2 (x^4 + 2x^2 + 1) dx$

Вычисляем интеграл:

$V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} + x \right]_1^2$

$V = \pi \left( \left(\frac{2^5}{5} + \frac{2 \cdot 2^3}{3} + 2\right) - \left(\frac{1^5}{5} + \frac{2 \cdot 1^3}{3} + 1\right) \right)$

$V = \pi \left( \left(\frac{32}{5} + \frac{16}{3} + 2\right) - \left(\frac{1}{5} + \frac{2}{3} + 1\right) \right)$

$V = \pi \left( \frac{31}{5} + \frac{14}{3} + 1 \right) = \pi \left( \frac{93 + 70 + 15}{15} \right) = \frac{178\pi}{15}$

Ответ: $V = \frac{178\pi}{15}$.

3) $y = \sqrt{x}, x = 1, x = 4, y = 0$

Фигура ограничена графиком функции $y = \sqrt{x}$, осью абсцисс и прямыми $x=1$ и $x=4$. Пределы интегрирования $a=1$, $b=4$.

$V = \pi \int_1^4 (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_1^4 x dx$

Вычисляем интеграл:

$V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^4 = \pi \left( \frac{4^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right) = \pi \left( \frac{16}{2} - \frac{1}{2} \right) = \frac{15\pi}{2}$

Ответ: $V = \frac{15\pi}{2}$.

4) $y = x^2, y = x$

Фигура ограничена параболой $y = x^2$ и прямой $y = x$. Сначала найдем пределы интегрирования, определив точки пересечения кривых:

$x^2 = x \Rightarrow x^2 - x = 0 \Rightarrow x(x-1) = 0$

Точки пересечения при $x=0$ и $x=1$. Это наши пределы интегрирования $a=0$, $b=1$. На интервале $(0, 1)$ прямая $y=x$ лежит выше параболы $y=x^2$, то есть $x > x^2$. Используем формулу для объёма тела, заключенного между двумя кривыми:

$V = \pi \int_0^1 (x^2 - (x^2)^2) dx = \pi \int_0^1 (x^2 - x^4) dx$

Вычисляем интеграл:

$V = \pi \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \pi \left( \left(\frac{1^3}{3} - \frac{1^5}{5}\right) - (0) \right) = \pi \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) = \pi \left( \frac{5-3}{15} \right) = \frac{2\pi}{15}$

Ответ: $V = \frac{2\pi}{15}$.

5) $y = \frac{1}{x}, y = 0, x = \frac{1}{2}, x = 2, y = x$

Фигура ограничена снизу осью абсцисс $y=0$, слева прямой $x=1/2$, справа прямой $x=2$. Верхняя граница фигуры формируется линиями $y=1/x$ и $y=x$. Найдем точку их пересечения:

$\frac{1}{x} = x \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x=1$ (так как область определения $x>0$).

На отрезке $[1/2, 1]$ выполняется неравенство $x \le 1/x$, поэтому верхняя граница фигуры описывается функцией $y=x$.

На отрезке $[1, 2]$ выполняется неравенство $1/x \le x$, поэтому верхняя граница фигуры описывается функцией $y=1/x$.

Таким образом, фигура вращения состоит из двух частей, и её объём равен сумме объёмов:

$V = \pi \int_{1/2}^1 x^2 dx + \pi \int_1^2 \left(\frac{1}{x}\right)^2 dx$

Вычисляем первый интеграл:

$V_1 = \pi \int_{1/2}^1 x^2 dx = \pi \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1/2}^1 = \pi \left( \frac{1^3}{3} - \frac{(1/2)^3}{3} \right) = \pi \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{24} \right) = \pi \left( \frac{8-1}{24} \right) = \frac{7\pi}{24}$

Вычисляем второй интеграл:

$V_2 = \pi \int_1^2 \frac{1}{x^2} dx = \pi \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^2 = \pi \left( \left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) \right) = \pi \left( 1 - \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{2}$

Общий объём:

$V = V_1 + V_2 = \frac{7\pi}{24} + \frac{\pi}{2} = \frac{7\pi}{24} + \frac{12\pi}{24} = \frac{19\pi}{24}$

Ответ: $V = \frac{19\pi}{24}$.