Страница 100 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.4. Вычислите определённый интеграл:

1) $\int_{-4}^{-2} 2dx;$

2) $\int_{1}^{2} x^3 dx;$

3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx;$

4) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin^2 x};$

5) $\int_{1}^{3} \frac{dx}{x^4};$

6) $\int_{0}^{4} e^x dx;$

7) $\int_{1}^{e} \frac{dx}{x};$

8) $\int_{4}^{9} \sqrt{x} dx;$

9) $\int_{-1}^{1} (1 - 5x^4)dx.$

1) Для вычисления определённого интеграла $ \int_{-4}^{-2} 2dx $ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ — первообразная для $ f(x) $.
Первообразная для функции $ f(x) = 2 $ есть $ F(x) = 2x $.
Подставляем пределы интегрирования:
$ \int_{-4}^{-2} 2dx = [2x]_{-4}^{-2} = 2(-2) - 2(-4) = -4 - (-8) = -4 + 8 = 4 $.
Ответ: 4.

2) Вычислим интеграл $ \int_{1}^{2} x^3 dx $.
Первообразная для степенной функции $ f(x) = x^3 $ находится по формуле $ F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1} $, то есть $ F(x) = \frac{x^4}{4} $.
Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
$ \int_{1}^{2} x^3 dx = [\frac{x^4}{4}]_{1}^{2} = \frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4} = 3.75 $.
Ответ: $ \frac{15}{4} $.

3) Вычислим интеграл $ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx $.
Первообразная для функции $ f(x) = \cos x $ есть $ F(x) = \sin x $.
Подставляем пределы интегрирования:
$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = [\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(0) = 1 - 0 = 1 $.
Ответ: 1.

4) Вычислим интеграл $ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin^2 x} $.
Первообразная для функции $ f(x) = \frac{1}{\sin^2 x} $ есть $ F(x) = -\cot x $.
Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
$ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin^2 x} = [-\cot x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = (-\cot(\frac{\pi}{2})) - (-\cot(\frac{\pi}{4})) = -0 - (-1) = 1 $.
Ответ: 1.

5) Вычислим интеграл $ \int_{1}^{3} \frac{dx}{x^4} $.
Представим подынтегральную функцию в виде $ f(x) = x^{-4} $. Первообразная для нее: $ F(x) = \frac{x^{-4+1}}{-4+1} = \frac{x^{-3}}{-3} = -\frac{1}{3x^3} $.
Подставляем пределы интегрирования:
$ \int_{1}^{3} x^{-4} dx = [-\frac{1}{3x^3}]_{1}^{3} = (-\frac{1}{3 \cdot 3^3}) - (-\frac{1}{3 \cdot 1^3}) = -\frac{1}{81} - (-\frac{1}{3}) = -\frac{1}{81} + \frac{27}{81} = \frac{26}{81} $.
Ответ: $ \frac{26}{81} $.

6) Вычислим интеграл $ \int_{0}^{4} e^x dx $.
Первообразная для экспоненциальной функции $ f(x) = e^x $ есть сама функция $ F(x) = e^x $.
Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
$ \int_{0}^{4} e^x dx = [e^x]_{0}^{4} = e^4 - e^0 = e^4 - 1 $.
Ответ: $ e^4 - 1 $.

7) Вычислим интеграл $ \int_{1}^{e} \frac{dx}{x} $.
Первообразная для функции $ f(x) = \frac{1}{x} $ есть $ F(x) = \ln|x| $.
Подставляем пределы интегрирования:
$ \int_{1}^{e} \frac{dx}{x} = [\ln|x|]_{1}^{e} = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1 $.
Ответ: 1.

8) Вычислим интеграл $ \int_{4}^{9} \sqrt{x} dx $.
Представим подынтегральную функцию в виде $ f(x) = x^{\frac{1}{2}} $. Первообразная для нее: $ F(x) = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} $.
Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
$ \int_{4}^{9} x^{\frac{1}{2}} dx = [\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9} = \frac{2}{3}(9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3}(4^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3}((\sqrt{9})^3) - \frac{2}{3}((\sqrt{4})^3) = \frac{2}{3}(3^3) - \frac{2}{3}(2^3) = \frac{2}{3}(27) - \frac{2}{3}(8) = 18 - \frac{16}{3} = \frac{54-16}{3} = \frac{38}{3} $.
Ответ: $ \frac{38}{3} $.

9) Вычислим интеграл $ \int_{-1}^{1} (1 - 5x^4)dx $.
Интеграл от разности равен разности интегралов. Первообразная для $ f(x) = 1 - 5x^4 $ есть $ F(x) = x - 5\frac{x^5}{5} = x - x^5 $.
Подставляем пределы интегрирования:
$ \int_{-1}^{1} (1 - 5x^4)dx = [x - x^5]_{-1}^{1} = (1 - 1^5) - (-1 - (-1)^5) = (1 - 1) - (-1 - (-1)) = 0 - (-1 + 1) = 0 - 0 = 0 $.
Ответ: 0.

11.5. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной:

1) графиком функции $y = x^2 + 1$ и прямыми $y = 0, x = 0, x = 2;

2) графиком функции $y = \cos x$ и прямыми $y = 0, x = -\frac{\pi}{6}, x = \frac{\pi}{2};

3) графиком функции $y = -x^3$ и прямыми $y = 0, x = -2;

4) графиком функции $y = 3 - 2x - x^2$ и прямыми $y = 0, x = -2, x = 0;

5) графиком функции $y = \frac{1}{2x}$ и прямыми $y = 0, x = \frac{1}{4}, x = 2;

6) графиком функции $y = 2x - x^2$ и осью абсцисс;

7) графиком функции $y = \sin 2x$ и прямыми $y = 0, x = \frac{\pi}{12}, x = \frac{\pi}{4};

8) графиком функции $y = \frac{1}{(x - 1)^2}$ и прямыми $y = 0, x = -1, x = 0;

9) графиком функции $y = e^x + 1$ и прямыми $y = 0, x = 0, x = -2;

10) графиком функции $y = \sqrt{5 - x}$ и прямыми $y = 0, x = -4.

1) Для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = x^2 + 1$, прямыми $x=0$, $x=2$ и осью $y=0$, необходимо вычислить определенный интеграл. Функция $f(x) = x^2 + 1$ неотрицательна на отрезке $[0, 2]$.
Площадь $S$ вычисляется по формуле: $S = \int_0^2 (x^2 + 1) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_0^2 = \left( \frac{2^3}{3} + 2 \right) - \left( \frac{0^3}{3} + 0 \right) = \frac{8}{3} + 2 = \frac{8 + 6}{3} = \frac{14}{3}$.
Ответ: $\frac{14}{3}$.

2) Площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = \cos x$, прямыми $x=-\frac{\pi}{6}$, $x=\frac{\pi}{2}$ и осью $y=0$, находится с помощью интеграла. На отрезке $[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}]$ функция $f(x) = \cos x$ неотрицательна.
Вычисляем площадь $S$: $S = \int_{-\pi/6}^{\pi/2} \cos x \, dx = [\sin x]_{-\pi/6}^{\pi/2} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = 1 - \left(-\frac{1}{2}\right) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$.

3) Криволинейная трапеция ограничена графиком функции $y = -x^3$, прямой $x=-2$ и осью $y=0$. Второй предел интегрирования — точка пересечения графика с осью абсцисс, то есть $x=0$. На отрезке $[-2, 0]$ функция $f(x) = -x^3$ неотрицательна (т.к. $x \le 0 \implies x^3 \le 0 \implies -x^3 \ge 0$).
Площадь $S$ равна: $S = \int_{-2}^0 (-x^3) \, dx = \left[ -\frac{x^4}{4} \right]_{-2}^0 = \left(-\frac{0^4}{4}\right) - \left(-\frac{(-2)^4}{4}\right) = 0 - \left(-\frac{16}{4}\right) = 4$.
Ответ: $4$.

4) Находим площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 3 - 2x - x^2$, прямыми $x=-2$, $x=0$ и осью $y=0$. Корни уравнения $3 - 2x - x^2 = 0$ равны $x=-3$ и $x=1$. Ветви параболы направлены вниз, поэтому на интервале $(-3, 1)$ функция положительна. Отрезок интегрирования $[-2, 0]$ входит в этот интервал, значит $f(x) \ge 0$.
Вычисляем площадь $S$: $S = \int_{-2}^0 (3 - 2x - x^2) \, dx = \left[ 3x - x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^0 = (0) - \left(3(-2) - (-2)^2 - \frac{(-2)^3}{3}\right) = -\left(-6 - 4 - \frac{-8}{3}\right) = -\left(-10 + \frac{8}{3}\right) = -\left(-\frac{22}{3}\right) = \frac{22}{3}$.
Ответ: $\frac{22}{3}$.

5) Требуется найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой $y = \frac{1}{2x}$, прямыми $x=\frac{1}{4}$, $x=2$ и осью $y=0$. На отрезке $[\frac{1}{4}, 2]$ функция $f(x) = \frac{1}{2x}$ положительна.
Площадь $S$ равна: $S = \int_{1/4}^2 \frac{1}{2x} \, dx = \frac{1}{2} \int_{1/4}^2 \frac{1}{x} \, dx = \frac{1}{2} [\ln|x|]_{1/4}^2 = \frac{1}{2} (\ln 2 - \ln\frac{1}{4}) = \frac{1}{2} (\ln 2 - \ln(2^{-2})) = \frac{1}{2} (\ln 2 - (-2\ln 2)) = \frac{1}{2} (3\ln 2) = \frac{3}{2}\ln 2$.
Ответ: $\frac{3}{2}\ln 2$.

6) Фигура ограничена графиком функции $y = 2x - x^2$ и осью абсцисс ($y=0$). Пределы интегрирования — это точки пересечения графика с осью $x$. Решим уравнение $2x - x^2 = 0 \implies x(2-x)=0$, откуда $x=0$ и $x=2$. На отрезке $[0, 2]$ парабола находится выше оси абсцисс, то есть $f(x) \ge 0$.
Вычисляем площадь $S$: $S = \int_0^2 (2x - x^2) \, dx = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \left(2^2 - \frac{2^3}{3}\right) - (0) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12-8}{3} = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$.

7) Находим площадь фигуры, ограниченной синусоидой $y = \sin(2x)$, прямыми $x=\frac{\pi}{12}$, $x=\frac{\pi}{4}$ и осью $y=0$. Если $x$ изменяется от $\frac{\pi}{12}$ до $\frac{\pi}{4}$, то аргумент $2x$ изменяется от $\frac{\pi}{6}$ до $\frac{\pi}{2}$. В этом диапазоне $\sin(2x) \ge 0$.
Площадь $S$ равна: $S = \int_{\pi/12}^{\pi/4} \sin(2x) \, dx = \left[ -\frac{1}{2}\cos(2x) \right]_{\pi/12}^{\pi/4} = -\frac{1}{2}\left(\cos\left(2\cdot\frac{\pi}{4}\right) - \cos\left(2\cdot\frac{\pi}{12}\right)\right) = -\frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{2} - \cos\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}\left(0 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{4}$.

8) Площадь фигуры ограничена графиком $y = \frac{1}{(x-1)^2}$, прямыми $x=-1$, $x=0$ и осью $y=0$. На отрезке $[-1, 0]$ функция $f(x) = \frac{1}{(x-1)^2}$ положительна, так как знаменатель является полным квадратом и не обращается в ноль на данном отрезке.
Вычисляем площадь $S$: $S = \int_{-1}^0 \frac{1}{(x-1)^2} \, dx = \int_{-1}^0 (x-1)^{-2} \, dx = \left[ -\frac{1}{x-1} \right]_{-1}^0 = \left(-\frac{1}{0-1}\right) - \left(-\frac{1}{-1-1}\right) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

9) Находим площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком $y = e^x + 1$, прямыми $x=0$, $x=-2$ (интервал интегрирования $[-2, 0]$) и осью $y=0$. Функция $f(x) = e^x + 1$ строго положительна для любых $x$, так как $e^x > 0$.
Площадь $S$ равна: $S = \int_{-2}^0 (e^x + 1) \, dx = [e^x + x]_{-2}^0 = (e^0 + 0) - (e^{-2} + (-2)) = 1 - (e^{-2} - 2) = 3 - e^{-2} = 3 - \frac{1}{e^2}$.
Ответ: $3 - \frac{1}{e^2}$.

10) Фигура ограничена графиком функции $y = \sqrt{5-x}$, прямой $x=-4$ и осью $y=0$. Второй предел интегрирования — точка пересечения графика с осью $x$, которая находится из условия $\sqrt{5-x}=0$, то есть $x=5$. Функция $f(x) = \sqrt{5-x}$ неотрицательна на всей своей области определения, включая отрезок $[-4, 5]$.
Вычисляем площадь $S$: $S = \int_{-4}^5 \sqrt{5-x} \, dx = \left[ -\frac{2}{3}(5-x)^{3/2} \right]_{-4}^5 = \left(-\frac{2}{3}(5-5)^{3/2}\right) - \left(-\frac{2}{3}(5-(-4))^{3/2}\right) = 0 - \left(-\frac{2}{3}(9)^{3/2}\right) = \frac{2}{3} \cdot 9^{3/2} = \frac{2}{3} \cdot 27 = 18$.
Ответ: $18$.

11.6. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

1) $y = x^2 - 1, y = 0, x = 2;$

2) $y = -x^2 - 4x, y = 0, x = -3, x = -1;$

3) $y = -\frac{8}{x}, y = 0, x = -4, x = -2;$

4) $y = \frac{1}{(x + 2)^2}, y = 0, x = -1, x = 1;$

5) $y = \sqrt{x + 4}, y = 0, x = -3, x = 5;$

6) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 1, y = 0, x = -2, x = -4.$

Рис. 11.13

$y = \frac{6}{x}$

1) $y = x^2 - 1, y = 0, x = 2$

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = f(x)$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница, если $f(x) \ge 0$ на отрезке $[a,b]$:

$S = \int_a^b f(x) \,dx$

В данной задаче одна из вертикальных границ, $x=a$, не указана явно. Найдем точки пересечения графика функции $y = x^2 - 1$ с осью $y=0$:

$x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = -1, x_2 = 1$.

Будем считать, что искомая фигура ограничена прямыми $x=1$ и $x=2$. На отрезке $[1, 2]$ функция $f(x) = x^2 - 1$ является неотрицательной ($f(x) \ge 0$), так как $x^2 \ge 1$ при $x \ge 1$. Криволинейная трапеция находится выше оси Ox.

Следовательно, площадь криволинейной трапеции равна:

$S = \int_1^2 (x^2 - 1) \,dx$

Найдем первообразную для функции $f(x) = x^2 - 1$:

$F(x) = \frac{x^3}{3} - x$.

Теперь вычислим определенный интеграл:

$S = \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_1^2 = \left(\frac{2^3}{3} - 2\right) - \left(\frac{1^3}{3} - 1\right) = \left(\frac{8}{3} - \frac{6}{3}\right) - \left(\frac{1}{3} - \frac{3}{3}\right) = \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $S = \frac{4}{3}$.

2) $y = -x^2 - 4x, y = 0, x = -3, x = -1$

Фигура ограничена параболой $y = -x^2 - 4x$, осью $y=0$ и прямыми $x=-3$, $x=-1$.

Проверим знак функции $f(x) = -x^2 - 4x$ на отрезке $[-3, -1]$. Корни уравнения $-x^2 - 4x = 0$ (или $-x(x+4)=0$) равны $x_1=0$ и $x_2=-4$. Ветви параболы направлены вниз, поэтому на интервале $(-4, 0)$ функция положительна. Отрезок $[-3, -1]$ принадлежит этому интервалу, следовательно, $f(x) \ge 0$ на $[-3, -1]$.

Площадь вычисляется по формуле:

$S = \int_{-3}^{-1} (-x^2 - 4x) \,dx$

Первообразная для $f(x) = -x^2 - 4x$ равна $F(x) = -\frac{x^3}{3} - 4\frac{x^2}{2} = -\frac{x^3}{3} - 2x^2$.

Вычислим интеграл:

$S = \left[-\frac{x^3}{3} - 2x^2\right]_{-3}^{-1} = \left(-\frac{(-1)^3}{3} - 2(-1)^2\right) - \left(-\frac{(-3)^3}{3} - 2(-3)^2\right)$

$S = \left(\frac{1}{3} - 2\right) - \left(-\frac{-27}{3} - 2 \cdot 9\right) = \left(\frac{1}{3} - \frac{6}{3}\right) - (9 - 18) = -\frac{5}{3} - (-9) = 9 - \frac{5}{3} = \frac{27-5}{3} = \frac{22}{3}$.

Ответ: $S = \frac{22}{3}$.

3) $y = -\frac{8}{x}, y = 0, x = -4, x = -2$

Фигура ограничена гиперболой $y = -\frac{8}{x}$, осью $y=0$ и прямыми $x=-4$, $x=-2$.

На отрезке $[-4, -2]$ переменная $x$ отрицательна, поэтому функция $f(x) = -\frac{8}{x}$ положительна. Криволинейная трапеция находится выше оси Ox.

Площадь вычисляется по формуле:

$S = \int_{-4}^{-2} \left(-\frac{8}{x}\right) \,dx = -8 \int_{-4}^{-2} \frac{1}{x} \,dx$

Первообразная для $\frac{1}{x}$ есть $\ln|x|$.

Вычислим интеграл:

$S = -8 [\ln|x|]_{-4}^{-2} = -8(\ln|-2| - \ln|-4|) = -8(\ln 2 - \ln 4)$

Используя свойство логарифма $\ln 4 = \ln(2^2) = 2\ln 2$, получаем:

$S = -8(\ln 2 - 2\ln 2) = -8(-\ln 2) = 8\ln 2$.

Ответ: $S = 8\ln 2$.

4) $y = \frac{1}{(x+2)^2}, y = 0, x = -1, x = 1$

Фигура ограничена кривой $y = \frac{1}{(x+2)^2}$, осью $y=0$ и прямыми $x=-1$, $x=1$.

На отрезке $[-1, 1]$ функция $f(x) = \frac{1}{(x+2)^2}$ положительна, так как знаменатель является полным квадратом и не равен нулю на данном отрезке.

Площадь вычисляется по формуле:

$S = \int_{-1}^{1} \frac{1}{(x+2)^2} \,dx = \int_{-1}^{1} (x+2)^{-2} \,dx$

Первообразная для $f(x) = (x+2)^{-2}$ равна $F(x) = \frac{(x+2)^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x+2}$.

Вычислим интеграл:

$S = \left[-\frac{1}{x+2}\right]_{-1}^{1} = \left(-\frac{1}{1+2}\right) - \left(-\frac{1}{-1+2}\right) = -\frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{1}\right) = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$.

Ответ: $S = \frac{2}{3}$.

5) $y = \sqrt{x+4}, y = 0, x = -3, x = 5$

Фигура ограничена кривой $y = \sqrt{x+4}$, осью $y=0$ и прямыми $x=-3$, $x=5$.

На отрезке $[-3, 5]$ функция $f(x) = \sqrt{x+4}$ определена и неотрицательна.

Площадь вычисляется по формуле:

$S = \int_{-3}^{5} \sqrt{x+4} \,dx = \int_{-3}^{5} (x+4)^{1/2} \,dx$

Первообразная для $f(x) = (x+4)^{1/2}$ равна $F(x) = \frac{(x+4)^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}(x+4)^{3/2}$.

Вычислим интеграл:

$S = \left[\frac{2}{3}(x+4)^{3/2}\right]_{-3}^{5} = \frac{2}{3}\left((5+4)^{3/2} - (-3+4)^{3/2}\right)$

$S = \frac{2}{3}\left(9^{3/2} - 1^{3/2}\right) = \frac{2}{3}\left((\sqrt{9})^3 - 1\right) = \frac{2}{3}(3^3 - 1) = \frac{2}{3}(27 - 1) = \frac{2}{3} \cdot 26 = \frac{52}{3}$.

Ответ: $S = \frac{52}{3}$.

6) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 1, y = 0, x = -2, x = -4$

Фигура ограничена кривой $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 1$, осью $y=0$ и прямыми $x=-4$, $x=-2$. Интегрирование проводится от меньшего предела к большему, т.е. от -4 до -2.

Проверим знак функции $f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 1$ на отрезке $[-4, -2]$. Уравнение $\left(\frac{1}{3}\right)^x - 1 = 0$ имеет корень $x=0$. Так как показательная функция $g(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ является убывающей, то при $x < 0$ (что верно для отрезка $[-4, -2]$) имеем $\left(\frac{1}{3}\right)^x > 1$. Следовательно, $f(x) > 0$ на данном отрезке.

Площадь вычисляется по формуле:

$S = \int_{-4}^{-2} \left(\left(\frac{1}{3}\right)^x - 1\right) \,dx$

Первообразная для $f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 1$ равна $F(x) = \frac{\left(\frac{1}{3}\right)^x}{\ln\left(\frac{1}{3}\right)} - x = \frac{\left(\frac{1}{3}\right)^x}{-\ln 3} - x = -\frac{3^{-x}}{\ln 3} - x$.

Вычислим интеграл:

$S = \left[-\frac{3^{-x}}{\ln 3} - x\right]_{-4}^{-2} = \left(-\frac{3^{-(-2)}}{\ln 3} - (-2)\right) - \left(-\frac{3^{-(-4)}}{\ln 3} - (-4)\right)$

$S = \left(-\frac{3^2}{\ln 3} + 2\right) - \left(-\frac{3^4}{\ln 3} + 4\right) = -\frac{9}{\ln 3} + 2 + \frac{81}{\ln 3} - 4 = \frac{81-9}{\ln 3} - 2 = \frac{72}{\ln 3} - 2$.

Ответ: $S = \frac{72}{\ln 3} - 2$.

Рис. 11.13

$y = \frac{6}{x}$

2) $y = -x^2 - 4x$, $y = 0$, $x = -3$, $x = -1;$

3) $y = -\frac{8}{x}$, $y = 0$, $x = -4$, $x = -2;$

4) $y = \frac{1}{(x+2)^2}$, $y = 0$, $x = -1$, $x = 1;$

5) $y = \sqrt{x+4}$, $y = 0$, $x = -3$, $x = 5;$

6) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 1$, $y = 0$, $x = -2$, $x = -4.$

11.7. Докажите, что криволинейные трапеции, закрашенные на рисунке 11.13, равновелики.

11.7. Чтобы доказать, что закрашенные криволинейные трапеции равновелики (имеют равные площади), необходимо вычислить площадь каждой из них с помощью определенного интеграла и сравнить полученные значения.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y = f(x)$, осью абсцисс ($y = 0$) и прямыми $x = a$ и $x = b$, вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

На рисунке 11.13 изображен график функции $y = \frac{6}{x}$. Эта функция непрерывна и положительна на интервалах, которые мы рассматриваем.

Найдем площадь первой трапеции (желтого цвета), которая ограничена линиями $y = \frac{6}{x}$, $y = 0$, $x = 1$ и $x = 2$. Обозначим ее площадь как $S_1$.

$S_1 = \int_{1}^{2} \frac{6}{x} \,dx$

Первообразной для функции $f(x) = \frac{6}{x}$ является функция $F(x) = 6 \ln|x|$. Вычислим интеграл:

$S_1 = [6 \ln|x|]_{1}^{2} = 6 \ln|2| - 6 \ln|1|$

Так как на отрезке $[1, 2]$ значения $x$ положительны, модуль можно опустить. Учитывая, что $\ln(1) = 0$, получаем:

$S_1 = 6 \ln(2) - 6 \cdot 0 = 6 \ln(2)$

Теперь найдем площадь второй трапеции (зеленого цвета), которая ограничена линиями $y = \frac{6}{x}$, $y = 0$, $x = 3$ и $x = 6$. Обозначим ее площадь как $S_2$.

$S_2 = \int_{3}^{6} \frac{6}{x} \,dx$

Используем ту же первообразную:

$S_2 = [6 \ln|x|]_{3}^{6} = 6 \ln|6| - 6 \ln|3|$

На отрезке $[3, 6]$ значения $x$ также положительны. Применим свойство логарифмов $\ln(a) - \ln(b) = \ln(\frac{a}{b})$:

$S_2 = 6(\ln(6) - \ln(3)) = 6 \ln(\frac{6}{3}) = 6 \ln(2)$

Сравнивая полученные результаты, видим, что $S_1 = 6 \ln(2)$ и $S_2 = 6 \ln(2)$. Следовательно, площади криволинейных трапеций равны, что и требовалось доказать.

Ответ: Площадь первой трапеции $S_1 = \int_{1}^{2} \frac{6}{x} dx = 6 \ln(2)$. Площадь второй трапеции $S_2 = \int_{3}^{6} \frac{6}{x} dx = 6(\ln 6 - \ln 3) = 6 \ln(\frac{6}{3}) = 6 \ln(2)$. Так как $S_1 = S_2$, криволинейные трапеции равновелики.