Номер 11.7, страница 100 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 11. Площадь криволинейной трапеции. Определённый интеграл. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 11.7, страница 100.

Рис. 11.13

$y = \frac{6}{x}$

2) $y = -x^2 - 4x$, $y = 0$, $x = -3$, $x = -1;$

3) $y = -\frac{8}{x}$, $y = 0$, $x = -4$, $x = -2;$

4) $y = \frac{1}{(x+2)^2}$, $y = 0$, $x = -1$, $x = 1;$

5) $y = \sqrt{x+4}$, $y = 0$, $x = -3$, $x = 5;$

6) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 1$, $y = 0$, $x = -2$, $x = -4.$

11.7. Докажите, что криволинейные трапеции, закрашенные на рисунке 11.13, равновелики.

11.7. Чтобы доказать, что закрашенные криволинейные трапеции равновелики (имеют равные площади), необходимо вычислить площадь каждой из них с помощью определенного интеграла и сравнить полученные значения.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y = f(x)$, осью абсцисс ($y = 0$) и прямыми $x = a$ и $x = b$, вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

На рисунке 11.13 изображен график функции $y = \frac{6}{x}$. Эта функция непрерывна и положительна на интервалах, которые мы рассматриваем.

Найдем площадь первой трапеции (желтого цвета), которая ограничена линиями $y = \frac{6}{x}$, $y = 0$, $x = 1$ и $x = 2$. Обозначим ее площадь как $S_1$.

$S_1 = \int_{1}^{2} \frac{6}{x} \,dx$

Первообразной для функции $f(x) = \frac{6}{x}$ является функция $F(x) = 6 \ln|x|$. Вычислим интеграл:

$S_1 = [6 \ln|x|]_{1}^{2} = 6 \ln|2| - 6 \ln|1|$

Так как на отрезке $[1, 2]$ значения $x$ положительны, модуль можно опустить. Учитывая, что $\ln(1) = 0$, получаем:

$S_1 = 6 \ln(2) - 6 \cdot 0 = 6 \ln(2)$

Теперь найдем площадь второй трапеции (зеленого цвета), которая ограничена линиями $y = \frac{6}{x}$, $y = 0$, $x = 3$ и $x = 6$. Обозначим ее площадь как $S_2$.

$S_2 = \int_{3}^{6} \frac{6}{x} \,dx$

Используем ту же первообразную:

$S_2 = [6 \ln|x|]_{3}^{6} = 6 \ln|6| - 6 \ln|3|$

На отрезке $[3, 6]$ значения $x$ также положительны. Применим свойство логарифмов $\ln(a) - \ln(b) = \ln(\frac{a}{b})$:

$S_2 = 6(\ln(6) - \ln(3)) = 6 \ln(\frac{6}{3}) = 6 \ln(2)$

Сравнивая полученные результаты, видим, что $S_1 = 6 \ln(2)$ и $S_2 = 6 \ln(2)$. Следовательно, площади криволинейных трапеций равны, что и требовалось доказать.

Ответ: Площадь первой трапеции $S_1 = \int_{1}^{2} \frac{6}{x} dx = 6 \ln(2)$. Площадь второй трапеции $S_2 = \int_{3}^{6} \frac{6}{x} dx = 6(\ln 6 - \ln 3) = 6 \ln(\frac{6}{3}) = 6 \ln(2)$. Так как $S_1 = S_2$, криволинейные трапеции равновелики.