Номер 11.1, страница 98 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 11. Площадь криволинейной трапеции. Определённый интеграл. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 11.1, страница 98.

11.1. Найдите площадь криволинейной трапеции, изображённой на рисунке 11.11.

Рис. 11.11

а

$y = x^2$

б

$y = x^3$

в

$y = \cos x$

г

$y = e^x$

д

$y = \sqrt{x}$

е

$y = -\frac{6}{x}$

ж

$y = 4 - x^2$

з

$y = \frac{1}{x^2}$

а

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = x^2$, осью абсцисс и прямыми $x=1$ и $x=2$, вычисляется с помощью определенного интеграла. Функция $y = x^2$ неотрицательна на отрезке $[1, 2]$.

Площадь $S$ равна:

$S = \int_1^2 x^2 \,dx$

Находим первообразную для $f(x) = x^2$, это $F(x) = \frac{x^3}{3}$. По формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left. \frac{x^3}{3} \right|_1^2 = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$.

Ответ: $\frac{7}{3}$.

б

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^3$, осью абсцисс и прямыми $x=0$ и $x=1$, вычисляется интегралом. Функция $y = x^3$ неотрицательна на отрезке $[0, 1]$.

Площадь $S$ равна:

$S = \int_0^1 x^3 \,dx$

Первообразная для $f(x) = x^3$ есть $F(x) = \frac{x^4}{4}$.

$S = \left. \frac{x^4}{4} \right|_0^1 = \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

в

Фигура ограничена графиком функции $y = \cos x$, осью абсцисс и прямыми $x=\frac{\pi}{6}$ и $x=\frac{\pi}{3}$. На отрезке $[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$ функция $y = \cos x$ неотрицательна.

Площадь $S$ вычисляется как:

$S = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \cos x \,dx$

Первообразная для $f(x) = \cos x$ есть $F(x) = \sin x$.

$S = \left. \sin x \right|_{\pi/6}^{\pi/3} = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$.

г

Фигура ограничена графиком функции $y = e^x$, осью абсцисс и прямыми $x=-1$ и $x=1$. Функция $y = e^x$ положительна на всей числовой оси.

Площадь $S$ равна:

$S = \int_{-1}^1 e^x \,dx$

Первообразная для $f(x) = e^x$ есть $F(x) = e^x$.

$S = \left. e^x \right|_{-1}^1 = e^1 - e^{-1} = e - \frac{1}{e}$.

Ответ: $e - \frac{1}{e}$.

д

Фигура ограничена графиком функции $y = \sqrt{x}$, осью абсцисс и прямыми $x=0$ и $x=4$. Функция $y = \sqrt{x}$ неотрицательна на отрезке $[0, 4]$.

Площадь $S$ равна:

$S = \int_0^4 \sqrt{x} \,dx = \int_0^4 x^{1/2} \,dx$

Первообразная для $f(x) = x^{1/2}$ есть $F(x) = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$.

$S = \left. \frac{2}{3}x^{3/2} \right|_0^4 = \frac{2}{3} \cdot 4^{3/2} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3/2} = \frac{2}{3} \cdot (\sqrt{4})^3 - 0 = \frac{2}{3} \cdot 2^3 = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3}$.

Ответ: $\frac{16}{3}$.

е

Фигура ограничена графиком функции $y = -\frac{6}{x}$, осью абсцисс и прямыми $x=-3$ и $x=-2$. На отрезке $[-3, -2]$ $x<0$, поэтому $y = -\frac{6}{x} > 0$.

Площадь $S$ вычисляется интегралом:

$S = \int_{-3}^{-2} \left(-\frac{6}{x}\right) \,dx = -6 \int_{-3}^{-2} \frac{1}{x} \,dx$

Первообразная для $f(x) = \frac{1}{x}$ есть $F(x) = \ln|x|$.

$S = -6 \left. \ln|x| \right|_{-3}^{-2} = -6(\ln|-2| - \ln|-3|) = -6(\ln 2 - \ln 3) = 6(\ln 3 - \ln 2) = 6\ln\frac{3}{2}$.

Ответ: $6\ln\frac{3}{2}$.

ж

Фигура ограничена графиком функции $y = 4 - x^2$ и осью абсцисс. Найдем пределы интегрирования, решив уравнение $4 - x^2 = 0$, откуда $x = \pm 2$. На отрезке $[-2, 2]$ функция $y = 4 - x^2$ неотрицательна.

Площадь $S$ равна:

$S = \int_{-2}^2 (4-x^2) \,dx$

Первообразная для $f(x) = 4-x^2$ есть $F(x) = 4x - \frac{x^3}{3}$.

$S = \left. \left(4x - \frac{x^3}{3}\right) \right|_{-2}^2 = \left(4 \cdot 2 - \frac{2^3}{3}\right) - \left(4 \cdot (-2) - \frac{(-2)^3}{3}\right) = \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(-8 + \frac{8}{3}\right) = \frac{16}{3} - \left(-\frac{16}{3}\right) = \frac{32}{3}$.

Ответ: $\frac{32}{3}$.

з

Фигура ограничена графиком функции $y = \frac{1}{x^2}$, осью абсцисс и прямыми $x=\frac{1}{2}$ и $x=1$. Функция $y = \frac{1}{x^2}$ положительна на данном отрезке.

Площадь $S$ равна:

$S = \int_{1/2}^1 \frac{1}{x^2} \,dx = \int_{1/2}^1 x^{-2} \,dx$

Первообразная для $f(x) = x^{-2}$ есть $F(x) = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$.

$S = \left. \left(-\frac{1}{x}\right) \right|_{1/2}^1 = \left(-\frac{1}{1}\right) - \left(-\frac{1}{1/2}\right) = -1 - (-2) = -1 + 2 = 1$.

Ответ: $1$.