Номер 11.6, страница 100 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 11. Площадь криволинейной трапеции. Определённый интеграл. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 11.6, страница 100.

11.6. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

1) $y = x^2 - 1, y = 0, x = 2;$

2) $y = -x^2 - 4x, y = 0, x = -3, x = -1;$

3) $y = -\frac{8}{x}, y = 0, x = -4, x = -2;$

4) $y = \frac{1}{(x + 2)^2}, y = 0, x = -1, x = 1;$

5) $y = \sqrt{x + 4}, y = 0, x = -3, x = 5;$

6) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 1, y = 0, x = -2, x = -4.$

Рис. 11.13

$y = \frac{6}{x}$

1) $y = x^2 - 1, y = 0, x = 2$

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = f(x)$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница, если $f(x) \ge 0$ на отрезке $[a,b]$:

$S = \int_a^b f(x) \,dx$

В данной задаче одна из вертикальных границ, $x=a$, не указана явно. Найдем точки пересечения графика функции $y = x^2 - 1$ с осью $y=0$:

$x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = -1, x_2 = 1$.

Будем считать, что искомая фигура ограничена прямыми $x=1$ и $x=2$. На отрезке $[1, 2]$ функция $f(x) = x^2 - 1$ является неотрицательной ($f(x) \ge 0$), так как $x^2 \ge 1$ при $x \ge 1$. Криволинейная трапеция находится выше оси Ox.

Следовательно, площадь криволинейной трапеции равна:

$S = \int_1^2 (x^2 - 1) \,dx$

Найдем первообразную для функции $f(x) = x^2 - 1$:

$F(x) = \frac{x^3}{3} - x$.

Теперь вычислим определенный интеграл:

$S = \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_1^2 = \left(\frac{2^3}{3} - 2\right) - \left(\frac{1^3}{3} - 1\right) = \left(\frac{8}{3} - \frac{6}{3}\right) - \left(\frac{1}{3} - \frac{3}{3}\right) = \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $S = \frac{4}{3}$.

2) $y = -x^2 - 4x, y = 0, x = -3, x = -1$

Фигура ограничена параболой $y = -x^2 - 4x$, осью $y=0$ и прямыми $x=-3$, $x=-1$.

Проверим знак функции $f(x) = -x^2 - 4x$ на отрезке $[-3, -1]$. Корни уравнения $-x^2 - 4x = 0$ (или $-x(x+4)=0$) равны $x_1=0$ и $x_2=-4$. Ветви параболы направлены вниз, поэтому на интервале $(-4, 0)$ функция положительна. Отрезок $[-3, -1]$ принадлежит этому интервалу, следовательно, $f(x) \ge 0$ на $[-3, -1]$.

Площадь вычисляется по формуле:

$S = \int_{-3}^{-1} (-x^2 - 4x) \,dx$

Первообразная для $f(x) = -x^2 - 4x$ равна $F(x) = -\frac{x^3}{3} - 4\frac{x^2}{2} = -\frac{x^3}{3} - 2x^2$.

Вычислим интеграл:

$S = \left[-\frac{x^3}{3} - 2x^2\right]_{-3}^{-1} = \left(-\frac{(-1)^3}{3} - 2(-1)^2\right) - \left(-\frac{(-3)^3}{3} - 2(-3)^2\right)$

$S = \left(\frac{1}{3} - 2\right) - \left(-\frac{-27}{3} - 2 \cdot 9\right) = \left(\frac{1}{3} - \frac{6}{3}\right) - (9 - 18) = -\frac{5}{3} - (-9) = 9 - \frac{5}{3} = \frac{27-5}{3} = \frac{22}{3}$.

Ответ: $S = \frac{22}{3}$.

3) $y = -\frac{8}{x}, y = 0, x = -4, x = -2$

Фигура ограничена гиперболой $y = -\frac{8}{x}$, осью $y=0$ и прямыми $x=-4$, $x=-2$.

На отрезке $[-4, -2]$ переменная $x$ отрицательна, поэтому функция $f(x) = -\frac{8}{x}$ положительна. Криволинейная трапеция находится выше оси Ox.

Площадь вычисляется по формуле:

$S = \int_{-4}^{-2} \left(-\frac{8}{x}\right) \,dx = -8 \int_{-4}^{-2} \frac{1}{x} \,dx$

Первообразная для $\frac{1}{x}$ есть $\ln|x|$.

Вычислим интеграл:

$S = -8 [\ln|x|]_{-4}^{-2} = -8(\ln|-2| - \ln|-4|) = -8(\ln 2 - \ln 4)$

Используя свойство логарифма $\ln 4 = \ln(2^2) = 2\ln 2$, получаем:

$S = -8(\ln 2 - 2\ln 2) = -8(-\ln 2) = 8\ln 2$.

Ответ: $S = 8\ln 2$.

4) $y = \frac{1}{(x+2)^2}, y = 0, x = -1, x = 1$

Фигура ограничена кривой $y = \frac{1}{(x+2)^2}$, осью $y=0$ и прямыми $x=-1$, $x=1$.

На отрезке $[-1, 1]$ функция $f(x) = \frac{1}{(x+2)^2}$ положительна, так как знаменатель является полным квадратом и не равен нулю на данном отрезке.

Площадь вычисляется по формуле:

$S = \int_{-1}^{1} \frac{1}{(x+2)^2} \,dx = \int_{-1}^{1} (x+2)^{-2} \,dx$

Первообразная для $f(x) = (x+2)^{-2}$ равна $F(x) = \frac{(x+2)^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x+2}$.

Вычислим интеграл:

$S = \left[-\frac{1}{x+2}\right]_{-1}^{1} = \left(-\frac{1}{1+2}\right) - \left(-\frac{1}{-1+2}\right) = -\frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{1}\right) = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$.

Ответ: $S = \frac{2}{3}$.

5) $y = \sqrt{x+4}, y = 0, x = -3, x = 5$

Фигура ограничена кривой $y = \sqrt{x+4}$, осью $y=0$ и прямыми $x=-3$, $x=5$.

На отрезке $[-3, 5]$ функция $f(x) = \sqrt{x+4}$ определена и неотрицательна.

Площадь вычисляется по формуле:

$S = \int_{-3}^{5} \sqrt{x+4} \,dx = \int_{-3}^{5} (x+4)^{1/2} \,dx$

Первообразная для $f(x) = (x+4)^{1/2}$ равна $F(x) = \frac{(x+4)^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}(x+4)^{3/2}$.

Вычислим интеграл:

$S = \left[\frac{2}{3}(x+4)^{3/2}\right]_{-3}^{5} = \frac{2}{3}\left((5+4)^{3/2} - (-3+4)^{3/2}\right)$

$S = \frac{2}{3}\left(9^{3/2} - 1^{3/2}\right) = \frac{2}{3}\left((\sqrt{9})^3 - 1\right) = \frac{2}{3}(3^3 - 1) = \frac{2}{3}(27 - 1) = \frac{2}{3} \cdot 26 = \frac{52}{3}$.

Ответ: $S = \frac{52}{3}$.

6) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 1, y = 0, x = -2, x = -4$

Фигура ограничена кривой $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 1$, осью $y=0$ и прямыми $x=-4$, $x=-2$. Интегрирование проводится от меньшего предела к большему, т.е. от -4 до -2.

Проверим знак функции $f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 1$ на отрезке $[-4, -2]$. Уравнение $\left(\frac{1}{3}\right)^x - 1 = 0$ имеет корень $x=0$. Так как показательная функция $g(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ является убывающей, то при $x < 0$ (что верно для отрезка $[-4, -2]$) имеем $\left(\frac{1}{3}\right)^x > 1$. Следовательно, $f(x) > 0$ на данном отрезке.

Площадь вычисляется по формуле:

$S = \int_{-4}^{-2} \left(\left(\frac{1}{3}\right)^x - 1\right) \,dx$

Первообразная для $f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 1$ равна $F(x) = \frac{\left(\frac{1}{3}\right)^x}{\ln\left(\frac{1}{3}\right)} - x = \frac{\left(\frac{1}{3}\right)^x}{-\ln 3} - x = -\frac{3^{-x}}{\ln 3} - x$.

Вычислим интеграл:

$S = \left[-\frac{3^{-x}}{\ln 3} - x\right]_{-4}^{-2} = \left(-\frac{3^{-(-2)}}{\ln 3} - (-2)\right) - \left(-\frac{3^{-(-4)}}{\ln 3} - (-4)\right)$

$S = \left(-\frac{3^2}{\ln 3} + 2\right) - \left(-\frac{3^4}{\ln 3} + 4\right) = -\frac{9}{\ln 3} + 2 + \frac{81}{\ln 3} - 4 = \frac{81-9}{\ln 3} - 2 = \frac{72}{\ln 3} - 2$.

Ответ: $S = \frac{72}{\ln 3} - 2$.