Номер 11.9, страница 101 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 11. Площадь криволинейной трапеции. Определённый интеграл. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 11.9, страница 101.

11.9. Вычислите определённый интеграл:

1) $\int_1^4 \left(\frac{4}{x^2} + 2x - 3x^2\right) dx;$

2) $\int_{\frac{4\pi}{3}}^{4\pi} \sin \frac{x}{4} dx;$

3) $\int_0^\pi \frac{dx}{\cos^2\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right)};$

4) $\int_0^1 (2x - 1)^4 dx;$

5) $\int_4^7 \frac{dx}{\sqrt{3x + 4}};$

6) $\int_{\ln 3}^{\ln 4} e^{-2x} dx;$

7) $\int_0^3 \frac{dx}{3x + 1};$

8) $\int_1^{\frac{7}{6}} \frac{dx}{(6x - 5)^2};$

9) $\int_1^4 \sqrt{7x - 3} dx.$

1) Для вычисления интеграла $\int_{1}^{4} (\frac{4}{x^2} + 2x - 3x^2) dx$ найдем первообразную подынтегральной функции $f(x) = 4x^{-2} + 2x - 3x^2$.

Первообразная $F(x) = \int (4x^{-2} + 2x - 3x^2) dx = 4\frac{x^{-1}}{-1} + 2\frac{x^2}{2} - 3\frac{x^3}{3} = -\frac{4}{x} + x^2 - x^3$.

По формуле Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$:

$\int_{1}^{4} (\frac{4}{x^2} + 2x - 3x^2) dx = (-\frac{4}{4} + 4^2 - 4^3) - (-\frac{4}{1} + 1^2 - 1^3) = (-1 + 16 - 64) - (-4 + 1 - 1) = -49 - (-4) = -45$.

Ответ: $-45$

2) Для вычисления интеграла $\int_{4\pi/3}^{4\pi} \sin\frac{x}{4} dx$ найдем первообразную функции $f(x) = \sin\frac{x}{4}$.

Первообразная $F(x) = \int \sin\frac{x}{4} dx = -4\cos\frac{x}{4}$.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{4\pi/3}^{4\pi} \sin\frac{x}{4} dx = [-4\cos\frac{x}{4}]_{4\pi/3}^{4\pi} = -4\cos(\frac{4\pi}{4}) - (-4\cos(\frac{4\pi/3}{4})) = -4\cos(\pi) + 4\cos(\frac{\pi}{3}) = -4(-1) + 4(\frac{1}{2}) = 4 + 2 = 6$.

Ответ: $6$

3) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{\pi} \frac{dx}{\cos^2(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3})}$ найдем первообразную функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3})}$.

Первообразная $F(x) = \int \frac{dx}{\cos^2(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3})} = 2\tan(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3})$.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{\pi} \frac{dx}{\cos^2(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3})} = [2\tan(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3})]_{0}^{\pi} = 2\tan(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}) - 2\tan(0 - \frac{\pi}{3}) = 2\tan(\frac{\pi}{6}) - 2\tan(-\frac{\pi}{3}) = 2(\frac{\sqrt{3}}{3}) + 2\tan(\frac{\pi}{3}) = \frac{2\sqrt{3}}{3} + 2\sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3} + 6\sqrt{3}}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{8\sqrt{3}}{3}$

4) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{1} (2x - 1)^4 dx$ найдем первообразную функции $f(x) = (2x - 1)^4$.

Первообразная $F(x) = \int (2x - 1)^4 dx = \frac{1}{2}\frac{(2x - 1)^5}{5} = \frac{(2x-1)^5}{10}$.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{1} (2x - 1)^4 dx = [\frac{(2x - 1)^5}{10}]_{0}^{1} = \frac{(2\cdot1 - 1)^5}{10} - \frac{(2\cdot0 - 1)^5}{10} = \frac{1^5}{10} - \frac{(-1)^5}{10} = \frac{1}{10} - (-\frac{1}{10}) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$

5) Для вычисления интеграла $\int_{4}^{7} \frac{dx}{\sqrt{3x+4}}$ перепишем подынтегральную функцию как $f(x) = (3x+4)^{-1/2}$.

Первообразная $F(x) = \int (3x+4)^{-1/2} dx = \frac{1}{3}\frac{(3x+4)^{1/2}}{1/2} = \frac{2}{3}\sqrt{3x+4}$.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{4}^{7} \frac{dx}{\sqrt{3x+4}} = [\frac{2}{3}\sqrt{3x+4}]_{4}^{7} = \frac{2}{3}\sqrt{3\cdot7+4} - \frac{2}{3}\sqrt{3\cdot4+4} = \frac{2}{3}\sqrt{25} - \frac{2}{3}\sqrt{16} = \frac{2}{3}\cdot5 - \frac{2}{3}\cdot4 = \frac{10}{3} - \frac{8}{3} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

6) Для вычисления интеграла $\int_{\ln 3}^{\ln 4} e^{-2x} dx$ найдем первообразную функции $f(x) = e^{-2x}$.

Первообразная $F(x) = \int e^{-2x} dx = -\frac{1}{2}e^{-2x}$.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{\ln 3}^{\ln 4} e^{-2x} dx = [-\frac{1}{2}e^{-2x}]_{\ln 3}^{\ln 4} = -\frac{1}{2}e^{-2\ln 4} - (-\frac{1}{2}e^{-2\ln 3}) = -\frac{1}{2}e^{\ln(4^{-2})} + \frac{1}{2}e^{\ln(3^{-2})} = -\frac{1}{2} \cdot 4^{-2} + \frac{1}{2} \cdot 3^{-2} = -\frac{1}{2 \cdot 16} + \frac{1}{2 \cdot 9} = -\frac{1}{32} + \frac{1}{18} = \frac{-9+16}{288} = \frac{7}{288}$.

Ответ: $\frac{7}{288}$

7) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{3} \frac{dx}{3x+1}$ найдем первообразную функции $f(x) = \frac{1}{3x+1}$.

Первообразная $F(x) = \int \frac{dx}{3x+1} = \frac{1}{3}\ln|3x+1|$. В пределах интегрирования от 0 до 3 выражение $3x+1 > 0$, поэтому модуль можно опустить.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{3} \frac{dx}{3x+1} = [\frac{1}{3}\ln(3x+1)]_{0}^{3} = \frac{1}{3}\ln(3\cdot3+1) - \frac{1}{3}\ln(3\cdot0+1) = \frac{1}{3}\ln(10) - \frac{1}{3}\ln(1) = \frac{\ln 10}{3} - 0 = \frac{\ln 10}{3}$.

Ответ: $\frac{\ln 10}{3}$

8) Для вычисления интеграла $\int_{1}^{7/6} \frac{dx}{(6x-5)^2}$ перепишем подынтегральную функцию как $f(x) = (6x-5)^{-2}$.

Первообразная $F(x) = \int (6x-5)^{-2} dx = \frac{1}{6}\frac{(6x-5)^{-1}}{-1} = -\frac{1}{6(6x-5)}$.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{1}^{7/6} \frac{dx}{(6x-5)^2} = [-\frac{1}{6(6x-5)}]_{1}^{7/6} = -\frac{1}{6(6\cdot\frac{7}{6}-5)} - (-\frac{1}{6(6\cdot1-5)}) = -\frac{1}{6(7-5)} + \frac{1}{6(1)} = -\frac{1}{12} + \frac{1}{6} = \frac{-1+2}{12} = \frac{1}{12}$.

Ответ: $\frac{1}{12}$

9) Для вычисления интеграла $\int_{1}^{4} \sqrt{7x-3} dx$ перепишем подынтегральную функцию как $f(x) = (7x-3)^{1/2}$.

Первообразная $F(x) = \int (7x-3)^{1/2} dx = \frac{1}{7}\frac{(7x-3)^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{21}(7x-3)^{3/2}$.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{1}^{4} \sqrt{7x-3} dx = [\frac{2}{21}(7x-3)^{3/2}]_{1}^{4} = \frac{2}{21}(7\cdot4-3)^{3/2} - \frac{2}{21}(7\cdot1-3)^{3/2} = \frac{2}{21}(25)^{3/2} - \frac{2}{21}(4)^{3/2} = \frac{2}{21}(5^3) - \frac{2}{21}(2^3) = \frac{2}{21}(125-8) = \frac{2 \cdot 117}{21} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 39}{3 \cdot 7} = \frac{2 \cdot 39}{7} = \frac{78}{7}$.

Ответ: $\frac{78}{7}$