Номер 11.15, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 11. Площадь криволинейной трапеции. Определённый интеграл. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 11.15, страница 102.

11.15. При каком значении $a$ прямая $x = a$ разбивает фигуру, ограниченную графиком функции $y = \frac{2}{x}$ и прямыми $y = 0, x = 3, x = 12$, на две равновеликие фигуры?

Для решения задачи необходимо найти такое значение $a$, при котором площади двух фигур, на которые прямая $x=a$ делит исходную фигуру, будут равны. Исходная фигура представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции $y = \frac{2}{x}$, осью абсцисс $y = 0$ и прямыми $x = 3$ и $x = 12$.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[b; c]$ функции $y = f(x)$, осью абсцисс и прямыми $x = b$ и $x = c$, вычисляется по формуле определенного интеграла:

$S = \int_{b}^{c} f(x) \,dx$

Сначала найдем общую площадь $S$ всей фигуры, подставив наши данные: $f(x) = \frac{2}{x}$, $b=3$, $c=12$.

$S = \int_{3}^{12} \frac{2}{x} \,dx$

Первообразная для функции $f(x) = \frac{2}{x}$ есть $F(x) = 2 \ln|x|$. Так как на отрезке $[3, 12]$ значение $x$ положительно, то $|x| = x$.

Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = [2 \ln x]_{3}^{12} = 2 \ln(12) - 2 \ln(3) = 2(\ln(12) - \ln(3))$

Используя свойство логарифмов $\ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}$, получаем:

$S = 2 \ln\left(\frac{12}{3}\right) = 2 \ln 4$

Прямая $x = a$ делит эту фигуру на две равновеликие части. Это означает, что площадь левой части, ограниченной прямыми $x=3$ и $x=a$, должна быть равна половине общей площади $S$. Очевидно, что $3 < a < 12$.

Площадь левой части $S_1$ равна:

$S_1 = \int_{3}^{a} \frac{2}{x} \,dx = \frac{S}{2} = \frac{2 \ln 4}{2} = \ln 4$

Вычислим интеграл для $S_1$:

$S_1 = [2 \ln x]_{3}^{a} = 2 \ln(a) - 2 \ln(3) = 2 \ln\left(\frac{a}{3}\right)$

Теперь приравняем два выражения для $S_1$:

$2 \ln\left(\frac{a}{3}\right) = \ln 4$

Используя свойство логарифма $n \ln a = \ln a^n$, перепишем левую часть:

$\ln\left(\left(\frac{a}{3}\right)^2\right) = \ln 4$

Так как логарифмическая функция монотонна, то если равны значения логарифмов, равны и их аргументы:

$\left(\frac{a}{3}\right)^2 = 4$

$\frac{a^2}{9} = 4$

$a^2 = 36$

Поскольку $a$ должно лежать в интервале $(3, 12)$, мы выбираем положительный корень:

$a = 6$

Это значение удовлетворяет условию $3 < 6 < 12$.

Ответ: $a = 6$