Номер 11.20, страница 103 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 11. Площадь криволинейной трапеции. Определённый интеграл. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 11.20, страница 103.

11.20. Вычислите определённый интеграл:

1) $\int_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{15\pi}{4}} \cot^2 \frac{x}{5} dx;$

2) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 2x dx;$

3) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{4}} \sin 7x \cos 3x dx;$

4) $\int_{-2}^{-1} \frac{x^2 - e^x}{x^2 e^x} dx.$

1) Для вычисления интеграла $ \int_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{15\pi}{4}} \ctg^2 \frac{x}{5} \, dx $ воспользуемся тригонометрическим тождеством $ \ctg^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} - 1 $.
Таким образом, подынтегральная функция преобразуется к виду $ \frac{1}{\sin^2 \frac{x}{5}} - 1 $.
Интеграл принимает вид:
$ \int_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{15\pi}{4}} \left(\frac{1}{\sin^2 \frac{x}{5}} - 1\right) \, dx $
Найдем первообразную. Используя табличные интегралы $ \int \frac{du}{\sin^2 u} = -\ctg u $ и $ \int dx = x $, а также правило интегрирования сложной функции, получаем:
$ \int \left(\frac{1}{\sin^2 \frac{x}{5}} - 1\right) \, dx = -5\ctg\left(\frac{x}{5}\right) - x + C $
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ \left[-5\ctg\left(\frac{x}{5}\right) - x\right]_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{15\pi}{4}} = \left(-5\ctg\left(\frac{15\pi}{4 \cdot 5}\right) - \frac{15\pi}{4}\right) - \left(-5\ctg\left(\frac{5\pi}{4 \cdot 5}\right) - \frac{5\pi}{4}\right) $
$ = \left(-5\ctg\left(\frac{3\pi}{4}\right) - \frac{15\pi}{4}\right) - \left(-5\ctg\left(\frac{\pi}{4}\right) - \frac{5\pi}{4}\right) $
Зная, что $ \ctg(\frac{3\pi}{4}) = -1 $ и $ \ctg(\frac{\pi}{4}) = 1 $, подставляем значения:
$ (-5(-1) - \frac{15\pi}{4}) - (-5(1) - \frac{5\pi}{4}) = (5 - \frac{15\pi}{4}) - (-5 - \frac{5\pi}{4}) = 5 - \frac{15\pi}{4} + 5 + \frac{5\pi}{4} = 10 - \frac{10\pi}{4} = 10 - \frac{5\pi}{2} $.

Ответ: $ 10 - \frac{5\pi}{2} $.

2) Для вычисления интеграла $ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 2x \, dx $ используем формулу понижения степени $ \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} $.
Тогда $ \cos^2 2x = \frac{1 + \cos(4x)}{2} $.
Подынтегральная функция $ f(x) = \cos^2 2x $ является чётной ($ f(-x) = \cos^2(-2x) = \cos^2(2x) = f(x) $), а пределы интегрирования симметричны относительно нуля. Поэтому можно воспользоваться свойством $ \int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx $:
$ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 2x \, dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(4x)}{2} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos(4x)) \, dx $
Находим первообразную:
$ \int (1 + \cos(4x)) \, dx = x + \frac{1}{4}\sin(4x) + C $
Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
$ \left[x + \frac{1}{4}\sin(4x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{4}\sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{2}\right)\right) - \left(0 + \frac{1}{4}\sin(0)\right) $
$ = \left(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{4}\sin(2\pi)\right) - 0 = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{4} \cdot 0 = \frac{\pi}{2} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{2} $.

3) Для вычисления интеграла $ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{4}} \sin 7x \cos 3x \, dx $ применим формулу преобразования произведения тригонометрических функций в сумму: $ \sin A \cos B = \frac{1}{2}(\sin(A+B) + \sin(A-B)) $.
В нашем случае $ A=7x, B=3x $, поэтому:
$ \sin 7x \cos 3x = \frac{1}{2}(\sin(7x+3x) + \sin(7x-3x)) = \frac{1}{2}(\sin(10x) + \sin(4x)) $.
Интеграл принимает вид:
$ \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{4}} (\sin(10x) + \sin(4x)) \, dx $
Находим первообразную:
$ \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{10}\cos(10x) - \frac{1}{4}\cos(4x)\right) + C $
Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
$ \frac{1}{2}\left[-\frac{1}{10}\cos(10x) - \frac{1}{4}\cos(4x)\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{4}} $
$ = \frac{1}{2}\left[\left(-\frac{1}{10}\cos\left(10 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) - \frac{1}{4}\cos\left(4 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)\right) - \left(-\frac{1}{10}\cos\left(10 \cdot \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) - \frac{1}{4}\cos\left(4 \cdot \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)\right)\right] $
$ = \frac{1}{2}\left[\left(-\frac{1}{10}\cos\left(-\frac{5\pi}{2}\right) - \frac{1}{4}\cos(-\pi)\right) - \left(-\frac{1}{10}\cos(-5\pi) - \frac{1}{4}\cos(-2\pi)\right)\right] $
Используя чётность косинуса и значения $ \cos(\frac{5\pi}{2})=0, \cos(\pi)=-1, \cos(5\pi)=-1, \cos(2\pi)=1 $:
$ = \frac{1}{2}\left[\left(-\frac{1}{10}(0) - \frac{1}{4}(-1)\right) - \left(-\frac{1}{10}(-1) - \frac{1}{4}(1)\right)\right] = \frac{1}{2}\left[\frac{1}{4} - \left(\frac{1}{10} - \frac{1}{4}\right)\right] $
$ = \frac{1}{2}\left[\frac{1}{4} - \left(\frac{2-5}{20}\right)\right] = \frac{1}{2}\left[\frac{1}{4} - \left(-\frac{3}{20}\right)\right] = \frac{1}{2}\left[\frac{1}{4} + \frac{3}{20}\right] = \frac{1}{2}\left[\frac{5+3}{20}\right] = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} $.

Ответ: $ \frac{1}{5} $.

4) Для вычисления интеграла $ \int_{-2}^{-1} \frac{x^2 - e^x}{x^2 e^x} \, dx $ сначала упростим подынтегральную функцию, разделив числитель на знаменатель почленно:
$ \frac{x^2 - e^x}{x^2 e^x} = \frac{x^2}{x^2 e^x} - \frac{e^x}{x^2 e^x} = \frac{1}{e^x} - \frac{1}{x^2} = e^{-x} - x^{-2} $.
Интеграл принимает вид:
$ \int_{-2}^{-1} (e^{-x} - x^{-2}) \, dx $
Находим первообразную, используя табличные интегралы:
$ \int (e^{-x} - x^{-2}) \, dx = -e^{-x} - \frac{x^{-1}}{-1} + C = -e^{-x} + \frac{1}{x} + C $
Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
$ \left[-e^{-x} + \frac{1}{x}\right]_{-2}^{-1} = \left(-e^{-(-1)} + \frac{1}{-1}\right) - \left(-e^{-(-2)} + \frac{1}{-2}\right) $
$ = (-e^1 - 1) - (-e^2 - \frac{1}{2}) = -e - 1 + e^2 + \frac{1}{2} = e^2 - e - \frac{1}{2} $.

Ответ: $ e^2 - e - \frac{1}{2} $.